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Gewinn, Gewinnmaximum, Cournotscher Punkt, Betriebsminimum, Erlösmaximum

Für eine Unternehmung seien die Preisabsatzfunktion durch

    \[p(x)=-6x+42\]

und die Kostenfunktion durch

    \[K(x)=x^3-9x^2+30x+10\]

gegeben.

  1. Bestimmen Sie die Gewinnfunktion.
    Der Gewinn ist die Differenz aus Erlös (Umsatz) und Kosten. Der Erlös ergibt sich, wenn man den Preis mit der Menge multipliziert:

        \[E(x)=x*p(x),\]

    in diesem Falle:

        \[E(x)=(-6x+42)*x=-6x^2+42x.\]

    Somit ergibt sich in diesem Fall die folgende Gewinnfunktion:

        \[G(x)=E(x)-K(x)=-6x^2+42x-(x^3-9x^2+30x+10)=-x^3+3x^2+12x-10.\]

  2. Berechnen Sie die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze.
    In der Gewinnfunktion gibt es den Gewinnbereich; das ist der Bereich, für den der Gewinn positiv ist. Dieser Bereich wird von unten durch die Gewinnschwelle und nach oben durch die Gewinngrenze begrenzt. Bei diesen beiden Punkten ist der Gewinn gerade gleich Null. Zu Errechnung der Punkte setzt man den Gewinn gleich Null:

        \[G(x)=-x^3+3x^2+12x-10=0.\]

    Als Lösungen ergeben sich in diesem Fall (Horner-Schema, Polynomdivision):

        \[x_1=0,73; x_2=5.\]

    Der Gewinnbereich ist somit

        \[\left[0,73;5\right].\]

    Die dritte Nullstelle dieser Funktion x=-2,73) wird nicht betrachtet, da es keine negativen Produktionsmengen gibt.

  3. Berechnen Sie den maximalen Gewinn. Bei welcher Produktionsmenge liegt er?
    Es ist nach einem Extremwert gefragt. Bei einem Extremwert wird die erste Ableitung der Funktion gebildet und gleich 0 gesetzt. Die zweite Ableitung an der errechnete Stelle muss dann positiv (Minimum, z.B. bei Durchschnittskosten) oder negativ (Maximum, z.B. Gewinn). In diesem Fall wird also eine Menge gesucht, bei der die erste Ableitung gleich Null und die zweite negativ ist:

        \begin{eqnarray*}G'(x) & = & 0 \wedge G''(x)<0\\G'(x) & = & -3x^2+6x+12=0\end{eqnarray*}

    Als Lösung dieses Problems (pq–Formel{{1}}[[1]]Die p-q–Formel löst eine quadratische Gleichung der Form x^2+p*x+q=0 mit x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}.[[1]] oder quadratische Ergänzung):

        \[x_1=3,24; x_2=-1,23.\]

    Die zweite Lösung fällt wegen der negativen Menge wieder weg. Jetzt muss nur noch geprüft werden, ob es sich um ein Maximum handelt:

        \[G''(3,24)=-6'3,24+6<0.\]

    Es handelt sich also um ein Maximum. Um den maximalen Gewinn zu berechnen, wird die gewinnmaximale Menge in die Gewinnfunktion eingesetzt:

        \[G(3,24)=26,36.\]

    Der maximale Gewinn beträgt also 26,36 GE bei einer Menge von 3,24 Stück.

  4. Bestimmen Sie den Cournotschen Punkt
    Der Cournotsche Punkt ist die Mengen–Preis–Kombination, bei der ein Monopolist seinen Gewinn maximiert. Die gewinnmaximale Menge haben wir bereits berechnet. Es fehlt nur der Preis, den der Monopolist im Gewinnmaximum (3,24/26,36) fordert. Diesen erhält man, wenn man die gewinnmaximale Menge in die Preisfunktione einsetzt:

        \[p(3,24)=-6*3,24+42=22,56.\]

    Der Cournotsche Punkt liegt also bei (3,24/22,56)

  5. Bestimmen Sie das Betriebsminimum des Unternehmens.
    Als Betriebsminimum ist der Punkt definiert, in dem die durchschnittlichen variablen Kosten minimal sind.Die Kosten setzen sich aus den variablen und den fixen Kosten zusammen. Die variablen Kosten sind von der Ausbringungsmenge abhängig, die fixen Kosten nicht:

        \begin{eqnarray*} K(x)&=&K_v(x)+K_f,\\ K_v(x)&=&x^3-9x^2+30x, K_f=10.\end{eqnarray*}

    Die durchschnittlichen variablen Kosten ergeben sich, indem die variablen Kosten durch die Menge dividiert wird:

        \[k_v(x)=\frac{K_v(x)}{x}=\frac{x^3-9x^2+30x}{x}=x^2-9x+30.\]

    Nun wird von den durchschnittlichen variablen Kosten das Minimum gesucht, also

        \[k'_v(x)=0 \wedge k''_v(x)>0.\]

    Aus

        \[k'_v(x)=2x-9=0\]

    folgt x=4,5 und wegen k''_v(x)=2>0 handelt es sich um ein Minimum. Das Betriebsminimum liegt also bei einer Produktionsmenge von 4,5 Einheiten. Die sich dabei ergebenden durchschnittlichen variablen Kosten von

        \[k_v(4,5)=4,5^2-9*4,5+30=9,75\]

    entspricht der kurzfristigen Preisuntergrenze des Unternehmens. Wenn es die Menge von 4,5 Einheiten zum Preis von 9,75 GE verkauft, macht es einen Verlust in Höhe der Fixkosten. Deshalb wird diese Lösung auch kurzfristige Preisuntergrenze genannt.

  6. Bestimmen Sie das Erlösmaximum des Unternehmens.
    Das Erlösmaximum ist durch die Bedingungen E'(x)=0 und E''(x)<0 bestimmt. Hier folgt mit der Erlösunktion E(x)=(-6x+42)*x=-6x^2+42x:

        \[-12x+42=0.\]

    und damit x=3,5. Der sich daraus ergebende Preis ist p(x)=-6*3,5+42=21 und der maximale Erlös beträgt p(x)*x=21*3,5=73,5 GE.

 

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