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Geraden

In der Vektorrechnung werden Geraden durch einen Ortsvektor und einen Richtungsvektor dargestellt. Der Richtungsvektor gibt dabei den Verlauf der Gerade im Raum an; er übernimmt damit die Funktion der Steigung m in einer Geradengleichung des Typs y=mx+b, wie wir in aus der ebenen Geometrie kennen. Der Stützvektor ist ein Punkt der Geraden und entspricht damit dem y–Achsenabschnitt in der herkömmlichen Schreibweise. Allgemein sieht eine Geradengleichung mit Orts– oder Stützvektor \vec{a} und Richtungsvektor \vec{b} wie folgt aus:

    \[g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+r\overrightarrow{b}.\]

Eine Gerade wird aus zwei Punkten \vec{A} und \vec{B} gebildet, indem der eine der Vektoren zum Stützvektor gemacht wird und dann aus der Differenz der beiden Vektoren der Richtungsvektor berechnet wird:

    \[g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{A}+r(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}).\]

Diese Geradengleichung beschreibt die zugehörige Gerade; es gibt unendlich viele andere Geradengleichungen, die die selbe Gerade beschreiben. Allen gemeinsam ist, dass der Stützvektor auf der Gerade liegt und die Richtungsvektoren linear abhängig sind.
Eine Gerade in der zweidimensionalen Geometrie lässt sich leicht in die herkömmliche Form y=mx+b umwandeln. Nehmen wir als Beispiel

    \[g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c} 3\\ 4 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} 6\\ 5 \end{array}\right).\]

Diese Geradengleichung lässt sich in zwei Einzelgleichungen zerlegen:

    \begin{eqnarray*}x_{1}&=&3+6s\\x_{2}&=&4+5s.\end{eqnarray*}

Anschließend wir die erste Gleichung nach s umgeformt und in die zweite Gleichung eingesetzt:

    \begin{eqnarray*}&s=&\frac{x_{1}}{6}-\frac{1}{2}\\\Longrightarrow&x_{2}=&4+\frac{5x_{2}}{6}-\frac{5}{2}=\frac{5}{6}x_{1}+\frac{3}{2}.\end{eqnarray*}

 

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