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Geometrische Folgen und Reihen

Eine geometrische Folge ist dadurch gekennzeichnet, dass der Quotient zweier aufeinander folgender Elemente der Folge konstant ist.Generell gilt für die Konstruktion einer solchen Folge, dass das vorhergehende Element mit einem festen Wert q multipliziert wird, um das nächste Glied zu erreichen:

    \[a_{n+1}=a_nq.\]

Schauen wir uns dies für eine beliebige geometrische Folge an:

    \begin{eqnarray*}a_1&=&a_1q^0\\a_2&=&a_1q^1\\a_3&=&a_2q=a_1q^2\\a_4&=&a_3q=a_1q^3\\ \ldots \\a_n&=&a_{n-1}q=a_1q^{n-1}.\end{eqnarray*}

Generell gilt also für die Bildung des n-ten Elements:

    \[a_{n-1}q=a_1q^{n-1}.\]

Eine geometrische kann einen Grenzwert und eine Schranke haben, wenn q<1 ist.

Die Reihe einer geometrische Folge – also die Summe aller Elemente der Folge – wir mit folgender Formel berechnet:

    \begin{eqnarray*}s_n&=&\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\\ &=&a_1+a_2+a_3+ \ldots +\a_{n-1}+a_n\\ &=& a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+ \ldots + a_1q^{n-2}+a_1q^{n-1}\\\end{eqnarray*}

Als nächstes wird die letzte Zeile mit q multipliziert

    \[s_nq=a_1q+a_1q^2+a_1q^3+a_1q^4+ \ldots + a_1q^{n-1}+a_1q^{n}\]

und die letzte Zeile darüber von ihr subtrahiert:

    \begin{eqnarray*}&&s_nq-s_n=a_1q^n-a_1\\ &\Longleftrightarrow&s_n(q-1)=a_1\left( q^n-1\right).\end{eqnarray*}

Umstellen ergibt die Formel für eine geometrische Reihe:

    \[s_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}.\]

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