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Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren ist ein Verfahren, in dem ein lineares Gleichungssystem in Matrixschreibweise dargestellt und gelöst wird. Wir betrachten das folgende Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen:

    \begin{eqnarray*}x-y+2z & = & 9\\x+2y+z & = &  8\\2x-3y+5 z & = &17\end{eqnarray*}

Es sieht in Matrixschreibweise wie folgt aus:

    \[\left(\begin{array}{ccc|c}1 & -1 & 2 & 9\\1 & 2 & 1 & 8\\2 & -3 & 5 & 17\end{array}\right).\]

Dabei gibt die ersten Spalte die Koeffizienten{{1}}[[1]]Koeffizienten sind die Zahlen, die vor den jeweiligen Variablen stehen und somit mit diesen multipliziert werden.[[1]] von x in den drei Gleichungen an, in der zweiten und dritten Spalte finden wir die Koeffizienten zu y und z. In der letzten Spalte finden sich die Ergebnisse der drei Gleichungen.

In dieser Matrix dürfen Zeilen vertauscht, mit einer Zahl multipliziert oder durch eine Zahl dividiert werden. Es ist ebenfalls möglich, Zeilen zu addieren oder zu subtrahieren.{{1}}[[1]]Dabei werden einerseits Äquivalenzumformungen von Gleichungen und andererseits das Additions- bzw. das Subtraktionsverfahren für Gleichungssysteme eingesetzt. Dies sieht man auch an dem Lösungsweg, der gleich beschrieben wird.[[1]]Zuerst entscheiden wir uns, die Variable x – also die erste Spalte – so zu bearbeiten, dass dort zwei Nullen stehen. Dazu wird zuerst die erste Gleichung von der zweiten subtrahiert:

    \[\left(\begin{array}{ccc|c}1 & -1 & 2 & 9\\0 & 3 & -1 & -1\\2 & -3 & 5 & 17\end{array}\right).\]

Anschließend wird das doppelte der ersten Gleichung von der dritten subtrahiert:

    \[\left(\begin{array}{ccc|c}1 & -1 & 2 & 9\\0& 3 & -1& -1\\0 & -1 & 1 & -1\end{array}\right).\]

Nun könnten wir die zweite Gleichung zum Dreifachen der dritten Gleichung addieren, damit in der zweiten Spalte auch eine Null entsteht. Das Ergebnis wird anschließend durch 2 dividiert.

    \[\left(\begin{array}{ccc|c}1 & -1 & 2 & 9\\0 & 3 & -1 & -1\\0 & 0 & 1 & -2\end{array}\right).\]

Diese Matrix wird in ein Gleichungssystem mit

    \begin{eqnarray*}x-y+2z   & =&    9\\3y-z   & = &   -1\\y    =    -2\end{eqnarray*}

umgewandelt. Rekursives Einsetzen mit y=-2 ergibt erst aus der zweiten Gleichung y=-1 und mit diesen beiden Werten aus der ersten Gleichung x=12.

Diese Ergebnisse erreicht man auch, wenn man in der Matrix dafür sorgt, dass auf der linken Seite eine Einheitsmatrix steht – dieses Verfahren nennt man „vollständige Elimination“. Dazu müssen in der zweiten Spalte ebenfalls 2 Nullen entstehen und zwar in der ersten und der dritten Spalte. Um dabei die Nullen in der ersten Spalte nicht wieder in andere Zahlen zu verwandeln, addiert oder subtrahiert man am besten die zweite Zeile. Als nächstes werden wir die zweite Gleichung zum Dreifachen der ersten Gleichung addieren, damit in der ersten Zeile an zweiter Stelle eine Null ensteht:.

    \[\left(\begin{array}{ccc|c}3 & 0 & 5 & 26\\0 & 3 & -1 & -1\\0 & 0 & 1 & -2\end{array}\right).\]

Jetzt benötigen wir in der dritten Spalte in der ersten und zweiten Zeile jeweils eine Null. Wir addieren daher die zweite und die dritte Zeile und anschließend subtrahieren wir das Fünffache der dritten Zeile von der ersten. Dabei bleiben die anderen Nullen alle erhalten, da in der ersten und zweiten Spalte der dritten Zeile jeweils Nullen stehen. Es ergibt sich durch Addition der zweiten und dritten Spalte;

    \[\left(\begin{array}{ccc|c}3 & 0 & 5 & 26\\0 & 3 & 0 & -3\\0 & 0 & 1 & -2\end{array}\right).\]

Die Subtrkation des Fünffachen der dritten von der ersten Zeile führt zu

    \[\left(\begin{array}{ccc|c}3 & 0 & 0 & 36\\0 & 3 & 0 & -3\\0 & 0 & 1 & -2\end{array}\right).\]

Abschließend werden die erste und die zweite Zeile jeweils durch 3 dividiert, damit auf der linken Seite eine Einheitsmatrix steht:

    \[\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 0 & 12\\0 & 1 & 0 & -1\\0 & 0 & 1 & -2\end{array}\right).\]

Die sich ergebende Lösung (12/-1/-1) ist die gleiche wie beim vorherigen Verfahren.

Beim Lösen von Gleichungen nach dem Gauß-Verfahren können sich zwei besondere Lösungen ergeben:

  • Ein Matrix mit einer Zeile, die nur aus Nullen besteht, hat unendlich viele Lösungen:

        \[\left(\begin{array}{ccc|c}-2 & 2 & 1 & 9\\0 & 1 &3 & 6\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right).\]

    Da es unendlich viele Lösungen gibt, führt man eine weitere Variable t ein, um diese unendlich vielen Lösungen darstellen zu können. Das verbleibende Gleichungssystem hat folgende Form:

        \begin{eqnarray*}-2x+2y+z   & =&    9\\y+3z   & = &   6.\end{eqnarray*}

    Setzt man in der zweiten Gleichung beispielsweise z=t{{2}}[[2]]Prinzipiell ist es egal, wie man t wählt; die Lösungen, die sich später ergeben, sind äquivalent.[[2]], so ergibt sich aus dieser Gleichung y=6-3t. Setzt man die Lösungen für y und z  in die erste Gleichung ein, so ergibt sich x=\frac{3}{3}-\frac{5}{2}t. Der Lösungsvektor für dieses Gleichungssystem ist also

        \[\left(\begin{array}{c}\frac{3}{3}-\frac{5}{2}t\\6-3t\\t\end{array}\right).\]

  • Eine Matrix mit einer Zeile, die bei den Variablen Nullen und im Ergebnisvektor eine Zahl ungleich Null hat, hat keine Lösung:

        \[\left(\begin{array}{ccc|c}-2 & 2 & 1 & 9\\0 & 1 &3 & 6\\0 & 0 & 0 & 5\end{array}\right).\]

    In der letzten Zeile steht 0x+0y+0z=5; dies ist eine falsche Aussage und die Lösungsmenge damit leer.

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