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Funktionsscharen: Gemeinsame Punkte

Eine Frage, die wir im Zusammenhang mit Funktionsscharen klären können, ist, welche gemeinsamen Punkte alle Funktionen einer Schar haben.Wir greifen dazu auf das Beispiel aus dem einführenden Eintrag über Funktionsscharen zurück: f_a(x)=x^2-ax . Um die Schar auf gemeinsame Punkte zu prüfen, nehmen wir zwei Vertreter dieser Schar – beispielsweise f_b(x) und f_c(x) mit c\neq b und setzen sie gleich:

[\begin{aligned}&& x^2-bx && = &&& x^2-cx&&&|-x^2+cx\\\Longleftrightarrow && x(c-b) && =  0&&&\\\Longleftrightarrow && x && = &&& 0 \lor b=c \\\end{aligned}\]

Die Möglichkeit, dass b und c gleich sind, haben wir ausgeschlossen – dann hätten wir identische Funktionen.  Damit bleibt als einzige Stelle x=0 . Der zugehörige Funktionswert ist f_a(0)=0 . Alle Funktionen dieser Schar haben den Punkt (0|0) gemeinsam. Dies können wir auch in der Abbildung in dem Beitrag über die Ortskurven sehen,

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