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Funktionentypen

Veröffentlicht am 21. Mai 2012 | Von Michael Dröttboom | Leave a response

Im Folgenden werden einige Funktionentypen vorgestellt. Grundlegendes zu Funktionen gibt es hier.

Konstante Funktionen

Eine konstante Funktion hat das Aussehen $f⁡(x)=a$ , zum Beispiel $f⁡(x)=3$ . Der Funktionswert ist unabhängig von dem $x$ -Wert. Graphisch handelt es sich um eine Parallele zur $x$ -Achse. Zu $f⁡(x)=3$ gibt es keine Umkehrfunktion. Die Umkehrung – Spiegelung an der 45 $^\circ$ -Linie – führt zu einer senkrechten Linie durch 3. Die zugehörige Zuordnung lautet $x=3$ . Dies ist keine Funktion, da einem $x$ -Wert – hier 3 – mehrere $y$ -Werte zugeordnet werden.

Lineare Funktionen

Lineare Funktionen haben die Form $y=mx+b$ . Näheres findet sich hier. Für $b=0$ liegt eine Ursprungsgerade und damit ein proportionaler Zusammenhang zwischen den Größen vor. Die Umkehrfunktion einer linearen Funktion ist ebenfalls eine lineare Funktion, bei der die Steigung $\frac{1}{m}$ beträgt, wobei $m$ die Steigung der ursprünglichen Funktion ist.

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen haben in der Normalform das Aussehen

$f⁡(x)=ax^2+bx+c.$

Näheres findet sich hier. Die Umkehrfunktion einer quadratischen Funktion ist die Quadratwurzelfunktion, wobei der Wertebereich auf positive Werte beschränkt wird, damit nicht einem Wert des Definitionsbereichs mehrere Werte des Wertebereichs zugeordnet werden.

Potenzfunktionen

Eine Potenzfunktion vom Grad $n,\ n\in\mathbb{N},\ n>1$ hat die Form $f⁡(x)=ax^n$ , zum Beispiel $f⁡(x)=3x^4$ . Dabei ist $n$ eine positive ganze Zahl. $a$ bezeichnet man als Koeffizienten. Die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion $n$ -ten Grades ist die entsprechende Wurzelfunktion $n$ -ten Grades. Bei geraden Exponenten werden die Ergebnisse auf den positiven Bereich beschränkt, damit von einer Funktion gesprochen werden kann.

Eine Potenzfunktion ist symmetrisch zum Ursprung, wenn der Exponent ungerade ist und symmetrisch zur $y$ -Achse, wenn der Exponent gerade ist.

Ganzrationale Funktionen

Die bisher vorgestellten Funktionen sind alle Spezialfälle von ganzrationalen Funktionen. Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n,\ n\in\mathbb{N},\ n\geq 0$ hat die Form

$f⁡(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1x+a_0.$

Diese Form der Funktion wird auch Polynom genannt. Man kann es auch mit Hilfe der Summenformel als

$f⁡(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i$

schreiben.

Ein Beispiel für eine ganzrationale Funktion 4. Grades ist $f⁡(x)=-x^4+3x^2-7x+5$ .

Für bestimmte Konstellationen von Koeffizienten erhält man bereits angesprochene Fälle:

konstante Funktion: Die Koeffizienten $a_1$ bis $a_n$ sind Null. Es bleibt nur das absolute Glied $a_0$ über.
lineare Funktion: Der Koeffizient $a_1$ ist ungleich Null, $a_0$ kann ungleich Null sein, alle anderen $a_i$ sind gleich 0; bei einer Ursprungsgeraden ist $a_0$ gleich Null.
quadratische Funktion: Die Koeffizienten $a_2$ ist ungleich Null, $a_0$ und $a_1$ können ungleich Null sein. Alle anderen Koeffizienten sind gleich Null.
Potenzfunktion: Ein Koeffizient $a_i,\ i>2$ ist ungleich Null, alle anderen Koeffizienten sind gleich Null.

Eine ganzrationale Funktion wird als gerade Funktion bezeichnet, wenn die Exponenten alle gerade sind. Ein absolutes Glied zählt dabei zu den geraden Exponenten, da man sich hinter der Zahl noch ein $x^0$ denken kann. Eine ungerade Funktion hat dementsprechend nur ungerade Exponenten. Gerade Funktionen sind symmetrisch zur $y$ -Achse, ungerade Funktionen zum Ursprung des Koordinatensystems.

Eine ganzrationale Funktionn–ten Grades hat maximal $n$ Nullstellen.

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Eine Potenzfunktion mit negativem Exponenten hat die Form

$f⁡(x)=ax^{-n}=\frac{a}{x^n},\ n\in\mathbb{N},\ n>0.$

Abbildung 1 zeigt das Beispiel $f⁡(x)=\frac{1}{x}$ . Ein solcher Graph wird Hyperbel genannt. Bei einer solchen Funktion besteht ein anti–proportionaler Zusammenhang zwischen den beiden Größen.

Er besitzt in dem Punkt, in dem der Nenner der Funktion Null wird eine Definitionslücke. Diese entsteht an einer Stelle, die nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, weil bei diesem $x$ durch Null dividiert würde. Im Beispiel der Abbildung 1ist dies bei $x=0$ der Fall – 0 ist nicht in der Definitionsmenge enthalten. Eine solche Stelle wird Polstelle, senkrechte Asymptote oder Unendlichkeitsstelle – hier mit Vorzeichenwechsel – genannt.

Als Asymptote bezeichnet man eine Kurve, an die sich die betrachtete Kurve annähert ohne sie zu erreichen. Bei der senkrechten Asymptote ist dies bei $x=0$ der Fall. Die Kurve nähert sich der $y$ -Achse immer mehr an ohne sie zu erreichen. Der Graph in der obigen Abbildung hat neben der senkrechten Asymptote bei $x=0$ eine weitere Asymptote: die $x$ -Achse für alle $x$ , die gegen $\pm\infty$ streben. Diese waagerechte Asymptote ermittelt man mit Hilfe der Polynomdivision.

Die Umkehrfunktion der Funktion $f⁡(x)=ax^n$ ist $f^{-1}(x)=\sqrt[n]{\frac{1}{x}}=x^\frac{-1}{n}$ .

Wurzelfunktionen

Wurzelfunktionen sind die Umkehrfunktionen zu Potenzfunktionen. Wenn $f ⁡(x)=ax^n,\ n\in \mathbb{N},\ n>1$ ist, dann ist die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)=\sqrt[n]{\frac{x}{a}}=\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{1}{n}}$ . Wenn $n$ gerade ist, muss man eine Beschränkung des Wertebereichs auf den positiven Bereich vornehmen, um eine Funktion zu erhalten. Dies ist Folge der Tatsache, dass beispielsweise die Quadratwurzel aus einer (positiven) Zahl positiv oder negativ sein kann. Ein Beispiel für eine Wurzelfunktion mit geradem Exponenten ist $f⁡(x)=\sqrt{x}$ , deren Graph sich im linken Teil der Abbildung 2 findet. Der Definitionsbereich dieser Funktionen ist auf $\mathbb{R}^{+0}$ beschränkt. Dies folgt aus der Tatsache, dass aus Zahlen, die kleiner als 0 sind, keine Quadratwurzel gezogen werden kann.

wurzel_zwei_drei — Abbildung 2: Graphen von Wurzelfunktionen

Im Gegensatz dazu hat eine Wurzelfunktion mit ungeradem Exponenten – wie die Funktion $f⁡(x)=\sqrt[3]{x}$ in Abbildung 2 – keine Beschränkung bei Werte– oder Definitionsbereich.

Nullstellen haben diese Funktionen, wenn der Radikand – das ist der Ausdruck unter der Wurzel – eine Nullstelle hat.

Exponentialfunktionen

Bei Exponentialfunktionen steht die Variable im Exponenten. Exponentialfunktionen beschreiben oft Wachstumsprozesse mit konstanter Wachstumsrate. Die Formel für die Entwicklung eines Kapitalstocks über eine Zeitspanne ist ein Beispiel für eine Exponentialfunktion. Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion ist $f⁡(x)=ab^x,\ b>0$ . Dabei ist $b$ die Basis und $a$ kann als Anfangsbestand bezeichnet werden, wenn die Variable Zeiträume umfasst. Betrachten wir als Beispiel ein Kapital von 10000 €, das bei einem Zinssatz von 4% angelegt wird. Nach $t$ Jahren hat es dann die Höhe $f⁡(t)=10000*1,04^t$ .

exponentiell — Abbildung 3: Graphen von Exponentialfunktionen

Betrachten wir Abbildung 3, um Gemeinsamkeiten von Exponentialfunktionen zu sehen. Die Exponentialfunktionen $f⁡(x)=ab^x$ gehen durch den Punkt $(0/a)$ , da $b^0=1$ ist. In den Beispielen der obigen Abbildung – links: $f(x)=2^x$ und rechts $f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ – ist dies jeweils der Punkt $(0/1)$ . Der Definitionsbereich aller Exponentialfunktionen ist $\mathbb{R}$ – es gibt keine Definitionslücken. Der Wertebereich hängt vom Vorzeichen von $a$ ab. Ist $a>0$ , so ist der Wertebereich $\mathbb{R}^+$ – wie in den Beispielen der Abbildung 3, ist $a<0$ , dann ist der Wertebereich $\mathbb{R}^-$ ; der Graph verläuft zur Gänze unterhalb der $x$ -Achse.

Sobald die Basis größer als 1 ist, steigt die Funktion über den gesamten Definitionsbereich und die Funktion besitzt die waagerechte Asymptote 0 für $x\to -\infty$ . Wenn $0<b<1$ , streben die Funktionen $x\to -\infty$ gegen unendlich und für $x\to \infty$ gegen 0. Eine Exponentialfunktion hat keine Nullstelle.

Eine einfache Exponentialfunktion ist nicht symmetrisch. Hingegen sind die beiden in der Abbildung 3 eingezeichneten Exponentialfunktionen zueinander symmetrisch. Die Symmetrieachse ist die $y$ -Achse. Es gilt $f_2(x)=2^x=\left(\frac{1}{2}\right)^{-x}=f_{\frac{1}{2}}(-x)$ . Eine Exponentialfunktion, deren Exponent beispielsweise $x^2$ ist, ist achsensymmetrisch, da dort $x^2=(-x)^2)$ gilt.

Logarithmusfunktion

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Möchte man beispielsweise wissen, in welcher Zeit sich ein Kapital von 10000 € verdoppelt, dann muss man die Gleichung

$\begin{eqnarray*}20.000&=&10000*1,04^x\\ \Longleftrightarrow 2&=&1,04^x\end{eqnarray*}$

lösen.

Die Lösung für diese Gleichung ist der Logarithmus von 2 zur Basis 1,04{{1}}[[1]] Die meisten älteren Taschenrechner bieten nur die Möglichkeit, den Logarithmus zur Basis 10 oder zur Basis $e$ auszurechnen. In solchen Fällen berechnet man den Logarithmus von $a$ zur Basis $b$ wie folgt: $\log_b a= \frac{\lg ⁡a}{\ lg ⁡b}$ .[[1]]:

$x=\log_{1,04}2\equiv 17,67.$

Die Logarithmusfunktion hat einen Definitionsbereich von $\matbb{R}^+$ ; der Wertebereich ist $\mathbb{R}$ . Die Funktion hat wegen $a^0=1$ dort eine Nullstelle, wo das Argument der Funktion den Wert 1 hat. Es gibt eine senkrechte Asymptote bei $x=0$ .

Trigonometrische Funktionen

Unter den trigonometrischen Funktionen versteht man die Sinus-, die Kosinus- und die Tangensfunktion.

trigonometire — Abbildung 5: Trigonometrische Funktionen

Die Kosinus- und die Tangensfunktion sind achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. Die Sinusfunktion ist symmetrisch zum Ursprung. Die Sinus- und die Tangensfunktion haben Nullstellen bei $0^\circ$ und allen ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$ . Die Nullstellen der Kosinusfunktion liegen bei allen Winkeln, für die gilt: $\alpha=90+180n$ , wobei $n$ eine ganzzahlige Größe ist.

Die Tangensfunktion hat senkrechte Asymptoten bei allen Winkeln, für die gilt: $\alpha=90+180n$ , wobei $n$ eine ganzzahlige Größe ist. Dies liegt daran, dass der Tangens der Quotient aus Sinus und Kosinus ist und die Kosinusfunktion bei der Annäherung an diese Werte gegen 0 strebt.

Posted in Analysis, Mathematik