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Funktionsscharen

Funktionsscharen unterscheiden sich von einer Funktion dadurch, dass es neben der Variablen (meist x ) noch einen Lageparameter (beispielsweise a ) gibt, der Einfluss auf die Werte der Funktionen hat.

Dieser Lageparameter ist eine Größe, die das Verhalten der Funktion beeinflusst, aber extern vorgegeben ist. Betrachten wir ein Beispiel. Nehmen wir ein Solar-Kraftwerk, das in Abhängigkeit von dem Winkel x, in dem die Sonne auf die Anlage scheint, Strom produziert. Zusätzlich spielt es eine Rolle, ob der Himmel klar oder bedeckt ist. Den Zustand des Himmels kann man durch einen Lageparameter a ausdrücken. Beispielsweise könnte a=0   bedeuten, dass es stark bewölkt ist  und a=1 , dass der Himmel völlig klar. ist. (a\) heißt Lageparameter, weil damit die Lage des Graphen in einem x-y- Koordinatensystem verändert wird, während Änderungen von x dazu führen, dass wir uns auf einer gegeben Funktion hin-und herbewegen.

Mit Funktionsscharen können die gleichen Fragen untersucht werden, wie mit einer Funktion. Zu beachten ist dabei, dass die Ergebnisse möglicherweise von dem Parameter a abhängen. Zudem sind Fragen nach dem Zustand des Parameters a möglich, die Berechnung von Ortskurven und die Beantwortung der Frage, ob alle Funktionen einer Schar gemeinsame Punkte haben.

Betrachten wir als Beispiel die Funktionsschar f_a(x)=x^2-ax . Eine konkrete Funktion dieser Schar entsteht, wenn wir für a einen Wert vergeben: f_3(x) bedeutet, dass das a durch 3 ersetzt wird: f_3(x)=x^2-3x .

Die Nullstellen dieser Funktion werden berechnet, indem die Funktion gleich 0 gestellt und nach x aufgelöst wird:

    \[\begin{aligned} && x^2-ax && = &&& 0\\ \Longleftrightarrow && x(x-a) && = 0&&&\\ \Longleftrightarrow && x && = &&& 0 \lor x=a \\\end{aligned}\]

Eine Nullstelle ist bei x_1=0 und einer weitere bei x_2=a . Die zweite Lösung hängt damit vom Parameter a. Wenn eine Funktion dieser Schar beobachtet wird, deren zweite Nullstelle bei x=3 ist, dann kennen wir damit auch den Parameter a=3 .

Diese Abhängigkeit der Ergebnisse vom Parameter a kann auch für andere Rechnungen gelten (Extrem- oder Wendepunkt oder die Form von Tangenten). Betrachten wir in diesem Beispiel die Lage der Extrempunkte. Dazu bilden wir die Ableitungen:

    \[\begin{aligned} && f'_a(x) && = &&& 2x-a\\ && f''_a(x) && = &&& 2 \end{aligned}\]

Bei den Ableitungen ist zu beachten, dass nur nach x und nicht nach a abgeleitet wird – a ist keine Variable. Es gelten die gleichen Ableitungsregeln wie bei Funktionen mit mehr als einer Variablen.

Die notwendige Bedingung für Extrempunkte ist f'_a(x)=0 . Umformen gibt x=\frac{a}{2} als Kandidaten für einen Extremwert. Die hinreichende Bedingung lautet f'_a(x)=0 \wedge f_a''(x)\neq 0 . Die 2. Ableitung f''_a(x) ist 2, damit gilt auch f_a''(\frac{a}{2})=2>0 . An der Stelle x=\frac{a}{2} liegt ein Minimum vor. Der entsprechende Funktionswert ist

    \[\begin{aligned} && f_a\left(\frac{a}{2}\right)&& = &&& \left(\frac{a}{2}\right)^2-a\left(\frac{a}{2}\right)\\ && && = &&& \frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2}&&\\ &&  && =&&& -\frac{a^2}{4}&&& \end{aligned}\]

Bei dieser Funktion ist die zweite Ableitung immer positiv, so dass errechnete Extremwerte Minima sind. Bei anderen Funktionen kann es jedoch sein, dass es vom Parameter a abhängt, ob wir Maxima oder Minima haben. Dazu muss der Parameter in der zweiten Ableitung vorkommen.

Auch bei Funktionsscharen lassen sich Tangenten berechnen.

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