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Funktionen; Wertebereich und Definitionsbereich

Zusammenhänge zwischen verschiedenen Größen werden durch Zuordnungen beschrieben. Wir beschränken uns hier auf Zuordnungen, die einer Größe eine andere Größe zuordnen – also Beziehungen zwischen zwei Größen. Eine solche Zuordnung könnte z.B. einer gekauften Menge Güter einen Preis zuordnen oder den Noten in einer Klassenarbeit die Zahl der Schülerinnen und Schüler, die diese Note geschrieben haben. Betrachten wir das Beispiel mit der Klassenarbeit genauer.

In dem Beispiel wird der Menge der Noten \{ 1,2,3,4,5,6 \} die Anzahl der geschriebenen Arbeiten mit dieser Note zugeordnet, zum Beispiel \{ 2,4,9,8,3,0 \}. Eine andere – bekanntere – Darstellung ist die einer Wertetabelle:

Note
1
2
3
4
5
6
Anzahl
2
4
9
8
3
0

Diese Zuordnung ist eindeutig. Das bedeutet, dass jeder Note genau eine Anzahl Schülerinnen und Schüler zugeordnet wird, die diese Note geschrieben hat. Eine in diesem Sinne eindeutige Zuordnung wird Funktion genannt. Im mathematischen Zusammenhang wird dies formal oft als y=f\left ( x \right ) dargestellt. Dabei ist x die Variable oder auch das Argument der Funktion – in diesem konkreten Fall die Note und f ist die Funktionsvorschrift, die jeder Note die entsprechende Anzahl zuordnet. Ein konkreter Wert f\left ( x_0 \right ) – diese Anzahl wird oft auch mit y bezeichnet – wird Funktionswert an der Stelle x_0 genannt.

Die Menge der Noten ist in diesem Fall der Definitionsbereich oder die Definitionsmenge \mathbb{D}\left ( f \right )=\{1,2,3,4,5,6\}.

Die Menge der möglichen Anzahlen von Noten ist in diesem Beispiel ebenfalls eine Menge von Zahlen. Im obigen Beispiel mit 26 Schülerinnen und Schülern in einer Klasse, ist die Menge der möglichen Ergebnisse die Menge aller ganzen Zahlen, die größer 0 und kleiner 26 (Grenzen inklusive) sind:

    \[\mathbb{B}=\{x\in \mathbb{N}_0 |0 \leq x \leq 26 \}.\]

Die tatsächlichen Ergebnisse bilden den Wertebereich oder die Wertemenge \mathbb{W}. Im Gegensatz zur Definitionsmenge werden in der Wertemenge nicht alle möglichen Elemente der Menge \mathbb{B} auftauchen; der Wertebereich ist damit eine Teilmenge der Menge der möglichen Ergebnisse: \mathbb{W}\left ( f \right )\subseteq \mathbb{B}.

Der oben bereits definierte Begriff der Funktion kann mit diesen Begriffen auf eine andere Art definiert werden: Eine Funktion ordnet jedem Element des Definitionsbereichs genau ein Element des Wertebereichs zu.

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