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Funktionen von mehr als einer Variablen

Funktionen können von mehr als einer Variablen abhängen. Der Verbrauch eines Autos hängt beispielsweise nicht nur von der Länge der gefahrenen Strecke ab, sondern auch vom Profil der Strecke, dem Verhalten des Fahrers oder dem Wetter.Eine Funktion, die von zwei Variablen abhängt[1], könnte allgemein die Form

    \[y=f(x_1,x_2)\]

haben. Nehmen wir als konkretes Beispiel die Funktion

    \[f(x,y)=2x^2-xy+y^2+10x-6y+20\]

und berechnen einige Funktionswerte:

x y f(x,y)
0 0 20
0 1 15
1 0 32
1 1 26
10 10 260

Graphische Darstellung

Der Graph der Funktion ist in der Abbildung 1 dargestellt:

Abbildung 1: Eine Funktion mit zwei Variablen
Abbildung 1: Eine Funktion mit zwei Variablen

Eine Darstellung mit Isoquanten[2] ist ebenfalls möglich. Dabei wird für f(x,y) jeweils ein Funktionswert vorgegeben und es wird geschaut, welche (x,y)-Kombinationen zu diesem Ergebnis führen. Geometrisch werden Schnitte parallel zur xy-Ebene durch den obigen Graphen geführt und in die xy-Ebene projiziert. In der Abbildung 3 ist dies für die Funktionswerte 10, 20 und 30 für die obige Funktion geschehen.

Abbildung 2: Die Isoquanten einer Funktion

Die äußere dieser Kurven gibt alle Kombinationen von x und y an, die zu einem Funktionswert von 30 führen.

 Ableitungen

Eine Funktion mehrerer Variablen hat genau so viele erste Ableitungen, wie sie Variablen hat. Diese Ableitungen werden partielle Ableitungen genannt. Die hier gegebene Funktion kann nach x und nach y abgeleitet werden. Diese beiden Ableitungen nennt man auch partielle Ableitungen. Wird f(x,y) beispielsweise partiell nach x abgeleitet, dann wird für diese Ableitung y als Koeffizient betrachtet. Die ersten partiellen Ableitungen von

    \[f(x,y)=2x^2-xy+y^2+10x-6y+20\]

sind

    \begin{eqnarray*}f_x=\frac{\delta f(x,y)}{\delta x}&=&4x-y+10\\ f_y\frac{\delta f(x,y)}{\delta y}&=&-x+2y-6.\end{eqnarray*}

Für ein gegebenes y gibt f_x an, wie sich der Funktionswert ändert, wenn x marginal geändert wird.

Ableitungen höherer Ordnung können aus diesen Ableitungen durch erneutes Ableiten gewonnen werden. So sind die zweiten Ableitungen

    \begin{eqnarray*}f_{xx}&=&4\\ f_{xy}&=&-1\\ f_{yy}&=&2\\ f{yx}&=&-1.\end{eqnarray*}

f_{xy} entsteht beispielweise dadurch, dass f_x nach y abgeleitet wird. Sobald f_{xy} und f_{xy} stetig sind, sind sie gleich – so wie im vorliegenden Fall.

Bedingungen für Extrempunkte

Wie bei Funktionen mit einer Variablen gibt es auch bei Funktionen mit zwei Variablen notwendige und hinreichende Bedingungen. Die notwendigen Bedingungen, dafür, dass es in (x_0,y_0) einen Extremwert gibt, sind, dass die ersten Ableitungen gleich Null sein müssen:

    \[f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0.\]

Je nachdem, wie die hinreichenden Bedingungen sind, kann es an der Stelle (x_0,y_0) folgende Möglichkeiten geben:

Maximum f_xx{x_0,y_0)<0
f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-\left[ f_{xy}(x_0,y_0)\right]^2>0
Minimum f_xx{x_0,y_0)>0
f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-\left[ f_{xy}(x_0,y_0)\right]^2>0
Sattelpunkt f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-\left[ f_{xy}(x_0,y_0)\right]^2<0

Betrachten wir das obige Beispiel. Nullsetzen der beiden ersten Ableitungen führt zu einem linearen Gleichungssystem mit

    \begin{eqnarray*}4x-y+10&=&0\\ -x+2y-6&=&.\end{eqnarray*}

Lösen dieses Gleichungssystems führt zu x=-2 und y=2. Prüfen wir nun mit den hinreichenden Bedingungen. Es ergibt sich

    \begin{eqnarray*}f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2&=&4*2-(-1)^2=7>0\\ f_{xx}&=&4>0.\end{eqnarray*}

Die Funktion hat also ein Minimum an der Stelle (-2/2). Der zugehörige Funktionswert ist f(-2,2)=4.

Footnotes    (↵ returns to text)
  1. Wir beschränken uns hier auf den Fall mit zwei variablen, von denen die Funktion abhängt.
  2. Weitere Bezeichnungen sind Isohöhenlinien oder Isoniveaulinien. Ein vergleichbares Konzept gibt es auf Wetterkarten (Isobaren) und Landkarten, auf denen die Höhe von Bergen mit Hilfe von Isohöhenlinien dargestellt wird.
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