
Funktionen von mehr als einer Variablen
Veröffentlicht am 15. Juni 2012 | Von Michael Dröttboom | Leave a response
Funktionen können von mehr als einer Variablen abhängen. Der Verbrauch eines Autos hängt beispielsweise nicht nur von der Länge der gefahrenen Strecke ab, sondern auch vom Profil der Strecke, dem Verhalten des Fahrers oder dem Wetter.Eine Funktion, die von zwei Variablen abhängt{{1}}[[1]]Wir beschränken uns hier auf den Fall mit zwei variablen, von denen die Funktion abhängt.[[1]], könnte allgemein die Form
haben. Nehmen wir als konkretes Beispiel die Funktion
und berechnen einige Funktionswerte:
![]() |
![]() |
![]() |
0 | 0 | 20 |
0 | 1 | 15 |
1 | 0 | 32 |
1 | 1 | 26 |
10 | 10 | 260 |
Graphische Darstellung
Der Graph der Funktion ist in der Abbildung 1 dargestellt:

Eine Darstellung mit Isoquanten{{2}}[[2]]Weitere Bezeichnungen sind Isohöhenlinien oder Isoniveaulinien. Ein vergleichbares Konzept gibt es auf Wetterkarten (Isobaren) und Landkarten, auf denen die Höhe von Bergen mit Hilfe von Isohöhenlinien dargestellt wird.[[2]] ist ebenfalls möglich. Dabei wird für jeweils ein Funktionswert vorgegeben und es wird geschaut, welche
-Kombinationen zu diesem Ergebnis führen. Geometrisch werden Schnitte parallel zur
–
-Ebene durch den obigen Graphen geführt und in die
–
-Ebene projiziert. In der Abbildung 3 ist dies für die Funktionswerte
,
und
für die obige Funktion geschehen.

Die äußere dieser Kurven gibt alle Kombinationen von und
an, die zu einem Funktionswert von
führen.
Ableitungen
Eine Funktion mehrerer Variablen hat genau so viele erste Ableitungen, wie sie Variablen hat. Diese Ableitungen werden partielle Ableitungen genannt. Die hier gegebene Funktion kann nach und nach
abgeleitet werden. Diese beiden Ableitungen nennt man auch partielle Ableitungen. Wird
beispielsweise partiell nach
abgeleitet, dann wird für diese Ableitung
als Koeffizient betrachtet. Die ersten partiellen Ableitungen von
sind
Für ein gegebenes gibt
an, wie sich der Funktionswert ändert, wenn
marginal geändert wird.
Ableitungen höherer Ordnung können aus diesen Ableitungen durch erneutes Ableiten gewonnen werden. So sind die zweiten Ableitungen
entsteht beispielweise dadurch, dass
nach
abgeleitet wird. Sobald
und
stetig sind, sind sie gleich – so wie im vorliegenden Fall.
Bedingungen für Extrempunkte
Wie bei Funktionen mit einer Variablen gibt es auch bei Funktionen mit zwei Variablen notwendige und hinreichende Bedingungen. Die notwendigen Bedingungen, dafür, dass es in einen Extremwert gibt, sind, dass die ersten Ableitungen gleich Null sein müssen:
Je nachdem, wie die hinreichenden Bedingungen sind, kann es an der Stelle folgende Möglichkeiten geben:
Maximum | ![]() ![]() |
Minimum | ![]() ![]() |
Sattelpunkt | ![]() |
Betrachten wir das obige Beispiel. Nullsetzen der beiden ersten Ableitungen führt zu einem linearen Gleichungssystem mit
Lösen dieses Gleichungssystems führt zu und
. Prüfen wir nun mit den hinreichenden Bedingungen. Es ergibt sich
Die Funktion hat also ein Minimum an der Stelle . Der zugehörige Funktionswert ist
.
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