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Folgen

Als Folgen bezeichnet man eine Menge von Zahlen, die nach einer bestimmten Vorschrift gebildet werden. Dabei gibt es in einer Folge endlich oder unendlich viele Elemente; die Anzahl n ist immer eine natürlich Zahl n \in \mathbb{N}, n>0). Die einzelnen Elemente einer Folge werden mit a_n bezeichnet. a_n ist das n-te Element der Folge. Schauen wir uns als Beispiel die Folge an, die aus der Vorschrift a_n=n^2 gebildet wird; es handelt sich um die Folge der Quadratzahlen. Diese kann eine Beschränkung bei der Zahl der Elemente haben, z.B. die ersten 10 Quadratzahlen 0\leq n\leq 9) oder keine Beschränkung haben.

Wichtige Folgen sind arithmetische und geometrische Folgen.

Eine Folge kann (streng) monoton fallend oder steigend sein{{1}}[[1]]Sie kann aber auch weder monoton fallend oder steigend sein.[[1]] Bei einer streng monoton steigenden Folge ist ein Element immer größer als das vorhergehende. Bei einer streng monoton fallenden Folge ist eine Element immer kleiner als der vorhergehende.{{2}}[[2]]Bei Funktionen würde man ebenfalls von (streng) monoton fallend oder steigend sprechen und dies mit Hilfe der 1.\ Ableitung messen.[[2]] Formell:

  • Monoton steigend: a_n \geq a_{n-1} \forall\ n
  • Streng monoton steigend: a_n > a_{n-1} \forall\ n
  • Monoton fallend: a_n \leq a_{n-1} \forall\ n
  • Streng monoton fallend: a_n < a_{n-1} \forall\ n

Betrachten wir ein Beispiel. Die zu betrachtende Folge ist a_n=\frac{n^2}{n+1}. Fragen wir uns, ob es sich um eine streng monoton steigende Folge handelt:{{3}}[[3]]Für die Rechnung ist zu beachten, dass n und damit auch n+1 nicht negativ sind. Bei den Umformungen bleiben also die Ungleichheitszeichen erhalten.[[3]]

    \begin{eqnarray*}&&\frac{(n+1)^2}{n+2}>\frac{n^2}{n+1}\\ &\Longleftrightarrow&(n+1)^3>n^2(n+2)\\ &\Longleftrightarrow&n^3+3n^2+3n+1>n^3+3n^2\\ &\Longleftrightarrow&n^2+3n+1>0\end{eqnarray*}

Für positive n ist die Aussage in der letzten Zeile wahr und die Behauptung am Anfang damit auch: Die Folge ist streng monoton zunehmend.

Mit dem Grenzwert einer Folge bezeichnet man – ähnlich wie bei Funktionen – einen Wert, dem sich die Folge für hohe n annähert. Hat die Folge einen Grenzwert, dann nennt man sie konvergent, ansonsten divergent.

Eine Schranke ist ein Wert, den eine Folge nicht über- oder unterschreitet. Eine Folge kann maximal zwei Schranken haben, wenn sie alternierend ist. Dies ist besipielsweise für die Folge a_n=(-1)^n der Fall, die immer die Werte 1 und -1 annimmt. Diese beiden Werte sind Schranken für diese Folge. Konvergente Folgen haben auch eine Schranke – den Grenzwert.

 

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