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Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

Bei Extremwertaufgaben muss für die Zielfunktion ein Maximum oder Minimum unter Einhalten der Nebenbedingung(en) gefunden werden. So kann die Aufgabe beispielsweise darin bestehen, ein Rechteck möglichst geringen Umfangs zu bestimmen, dessen Fläche 9 cm^2 ist.Dazu gibt es zwei Methoden:

Bei der Methode des Einsetzens wird die Nebenbedingung nach einer Variable umgestellt und anschließend in die Zielfunktion eingesetzt. Für diese wird dann ein Extremum gesucht.

Sehen wir uns das obige Beispiel mit dem Rechteck genauer an. Die Zielfunktion ist der Umfang des Rechtecks: U(a,b)=2a+2b. Diese Funktion hängt von zwei Variablen[1] ab. Die Nebenbedingung ist, dass die Fläche des Rechtecks 9 cm^2 sein soll, also A(a,b)=9. Auch diese Funktion hängt von den beiden Variablen ab. Wir wollen also das folgende Problem lösen:[2]

    \begin{eqnarray*}\min_{a,b} &&2a+2b\\\text{ u.\ d.\ N. }&&ab=9\end{eqnarray*}

Die Nebenbedingung wird nach einer der beiden Variablen umgeformt, beispielsweise nach a, und anschließend in die Zielfunktion eingesetzt:

    \begin{eqnarray*}&&a=\frac{9}{b}\\\Longrightarrow&&U(b)=2\frac{9}{b}+2b=\frac{18}{b}+2b.\end{eqnarray*}

Von der neuen – nur noch von einer Variablen abhängigen – Zielfunktion suchen wir ein Minimum. Die notwendige Bedingung hierfür lautet U'(b)=0 und die notwendige Bedingung ist U'(b)=0 und U''(b)>0. Bilden der Ableitungen ergibt

    \begin{eqnarray*}U'(b)&=&-\frac{18}{b^2}+2\\U''(b)&=&\frac{36}{b^3}.\end{eqnarray*}

Lösen der notwendigen Bedingung ergibt[3] b=3. Einsetzen in die hinreichende Bedingung gibt einen positiven Wert an der Stelle 3, so dass in der Tat ein Minimum vorliegt. Setzt man b in die umgeformte Nebenbedingung ein, so erhält man a=3 und damit U(a,b)=12 als minimalen Wert der Zielfunktion bei der gegebenen Nebenbedingung.

Das Lagrangeverfahren bietet sich an, wenn es mehr als eine Nebenbedingung gibt oder sich nicht alle Nebenbedingungen nach einer Variablen umformen lassen.

 

Footnotes    (↵ returns to text)
  1. Dies sind die beiden Seitenlängen a und b.
  2. Die Abkürzung „u.\ d.\ N.“ bedeutet unter der Nebenbedingung.
  3. Die Lösung b=-3 wird ignoriert, da es keine negativen Seitenlängen gibt.
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