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Extrempunkte

In der Abbildung 1 ist eine Parabel und in der Abbildung 2 die Ableitung der Parabel dargestellt. Wodurch ist das (lokale) Minimum der Parabel gekennzeichnet?

Abbildung 1: Eine Parabel
Abbildung 2: Die Ableitung der Parabel
 

Das lokale Minimum ist der Punkt, der in einem Bereich der tiefste Punkt ist – hier ist dies in dem Punkt (1/2) der Fall. Außerhalb dieses Bereiches kann es weitere Punkte geben, die Minima sind und tiefere y-Werte erreichen. In dem Fall der Abbildung 1 ist das Minimum sogar ein globales Minimum, da es keinen Punkt gibt, bei dem die y-Werte geringer sind. Entscheidend ist jedoch, dass in einem solchen Minimum die Kurve eine Steigung von 0 hat.

Dies kann man sich mit folgendem Gedankenexperiment erklären: Stellen wir uns ein Minimum vor, bei dem die Kurve eine positive (negative) Steigung hat. Dann gäbe es aber links (rechts) von dieser Stelle Punkte mit niedrigeren y -Werten. Der Punkt könnte also kein Minimum sein. Die Argumentation für ein lokales Maximum – also einen Punkt, zu dem es in der Umgebung keine höheren y-Werte gibt – ist ganz ähnlich.

Diese Bedingung, dass die Kurve in einem Extrempunkt eine Steigung von Null hat, nennt man die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extremwertes:

Notwendige Bedingung:f’⁡(x)=0.

Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, kann kein Extrempunkt vorliegen. Anders herum kann es keinen Extrempunkt geben, bei dem diese Bedingung verletzt ist. Diese Bedingung kann keine, eine oder mehrere Lösungen haben. Dies sind Kandidaten für Extrempunkte x_e).

Jetzt gibt es aber auch noch Fälle, wie in Abbildung 3. Auch dort ist bei x=0 die notwendige Bedingung f'⁡(x)=0 erfüllt, weil die Kurve dort eine Steigung von Null hat. Allerdings handelt es sich nicht um einen Extrempunkt.

Abbildung 3: Eine kubische Funktion
Abbildung 4: Die Ableitung einer kubischen Funktion

Es gibt also Punkte, die die notwendige Bedingung erfüllen, aber trotzdem keine Extrempunkte sind. Also muss zwischen den Punkten, die die notwendige Bedingung erfüllen, weiter selektiert werden. Schauen wir uns die Ableitungen in den Abbildungen 2 und 4 an: Im ersten Fall, in dem wir ein Minimum hatten, wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen; im zweiten Fall ist die Ableitung links und rechts vom Wert x=0 positiv, wechselt ihr Vorzeichen also nicht. Diese Prüfung nennt man das Vorzeichenwechselkriterium. Halten wir fest:

Ein Punkt ist ein Extrempunkt, wenn die Funktion dort eine waagerechte Tangente – also die Steigung 0 – hat und das Vorzeichenwechselkriterium für die 1. Ableitung erfüllt ist.

Das Prüfen des Vorzeichenwechselkriteriums{{1}}[[1]] Man setzt in die 1. Ableitung einmal einen Wert ein, der etwas kleiner als der gefundene Kandidat für ein Extremum ist und einmal einen Wert, der etwas größer ist. Unterscheiden sich die Vorzeichen der ersten Ableitung an diesen beiden Stellen, so ist das Vorzeichenwechselkriterium erfüllt.[[1]] kann aufwendiger sein, daher greift man zu einer etwas einfacheren Bedingung:

Hinreichende Bedingung: f'⁡(x)=0 und f''⁡(x)\ne0.

Wenn diese Bedingung bei einem der gefundenen Kandidaten für Extrempunkte erfüllt ist, liegt ein Extrempunkt vor. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, kann immer noch ein Extrempunkt vorliegen. Anders als bei der notwendigen Bedingung gilt hier der Umkehrschluss – wenn ein Extrempunkt vorliegt, dann ist diese Bedingung erfüllt – nicht. Versuchen wir uns dies an einem Beispiel zu verdeutlichen. Gegeben sei f⁡(x)=x^4. Diese Funktion verläuft prinzipiell wie eine Parabel und hat ein Minimum bei (0/0). Für die notwendige Bedingung gilt:

    \begin{eqnarray*}f'⁡(x)&=&4x^3=0\\ \Longleftrightarrow x&=&0.\end{eqnarray*}

Die hinreichende Bedingung f'⁡(0)=0 \wedge  f''⁡(0)\ne 0 ist nicht erfüllt. Allerdings wissen wir, dass es an der Stelle 0 ein Minimum gibt. Schauen wir uns das Vorzeichenwechselkriterium an der Stelle x=0 an. Es gilt f'(0,1)>0 und f'(-0,1)<0, das Vorzeichenwechselkrterium ist also erfüllt und an der Stelle liegt ein Minimum vor, weil die Kurve links von 0 fällt und rechts davon steigt.

Es gibt eine weitere Methode, dieses Problem an Stelle mit dem Vorzeichenwechselkriterium zu lösen. Es werden weitere Ableitungen höheren Grades gebildet und an der der Stelle, an der 1. und 2. Ableitung gleich Null sind, ausgewertet. Sobald der erste Wert ungleich 0 auftaucht, wird das Verfahren beendet. Ist die Ableitung, bei der der erste Wert ungleich 0 errechnet wurde, eine ungerade Ableitung, dann liegt kein Extrempunkt vor; ist es eine gerade Ableitung, liegt ein Extrempunkt vor. In unserem hat die 3. Ableitung an der Stelle 0 den Wert 0; erst die 4. Ableitung ist mit 24 ungleich Null. Es liegt also ein Extrempunkt vor.

Zusammengefasst:

  • Es liegt ein Maximum (Hochpunkt) vor, wenn an einer Stelle x_M die Bedingungen f'⁡(x_M)=0 und f''⁡(x_M)<0 erfüllt sind.
  • Ein Minimum liegt vor, wenn an einer Stelle x_M die Bedingungen f'⁡(x_M)=0 und f''⁡(x_M)>0 erfüllt sind.
  • Sollten an einer Stelle x_E die Bedingungen f'⁡(x_E)=0 und f''⁡(x_E)=0 erfüllt sein, muss auf einen Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung an der Stelle x_E geprüft werden. Gibt es einen Vorzeichenwechsel, so liegt entweder ein Maximum (Wechsel von positiv zu negativ für steigendes x) oder ein Minimum (Wechsel von negativ zu positiv für steigendes x) vor. Alternativ können höhere Ableitungen an dieser Stelle geprüft werden. Ist die Ableitung, die als erstes einen Wert ungleich 0 an dieser Stelle hat, eine gerade Ableitung, so liegt ein Extrempunkt vor. Auch hier gilt dann: Ist der Wert dieser Ableitung positiv, so handelt es sich um ein Minimum, ist der Wert negativ, handelt es sich um ein Maximum.

Maxima und Minima – wenn es denn mehrere gibt – müssen sich mit steigendem x abwechseln. Es geht nicht, zwei Extrempunkte desselben Typs hintereinander zu haben.

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