Suche

Drucken Drucken

Ebenen

Eine Ebene wird von drei Punkten, die nicht auf einer Gerade liegen, bestimmt. Es gibt vier Darstellungsformen von Ebenen:

  • Die Parameterform,

  • die Koordinatenform,

  • die Normalenform und

  • die Hessesche Normalenform.

Die Parameter- oder die Drei-Punkte-Form

 

Mit der Parameterform wird eine Ebene aus drei Punkten konstruiert, indem einer der Punkte zum Stützvektor wird und zwei Richtungsvektoren konstruiert werden. Beispiel: Gegeben sind drei Punkte

(1)   \begin{equation*}\vec{A}=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix},\vec{B}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 5 \end{pmatrix}\mbox{ und }\vec{C}=\begin{pmatrix}1\\ 3\\ 4 \end{pmatrix}\].Nehmen wir \(\vec{A}\) als Stützvektor der Ebene, dann ergeben sich beispielsweise \(\overroghtarrrow{AB}=\vec{B}-\vec{A}\) und \(\overrightarrow{AC}=\vec{C}-\vec{A}\) als Richtungsvektoren und die Ebene in Parameterform als \[g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}.\end{equation*}

Eine Ebenengleichung ergibt sich dann, wenn die beiden Richtungsvektoren nicht linear abhängig sind. Sind sie linear abhängig, dann liegen alle drei gegeben Punkte auf einer Geraden und können keine Ebene definieren.

 

 

Die oben angegeben Ebenengleichung ist nur eine mögliche Parameterform für die Ebene, die durch die drei Punkte gegeben ist. Weitere Ebenen ergeben sich beispielsweise, wenn man einen anderen Stützvektor wählt oder die Richtungsvektoren anders bildet.

Die Koordinatenform

In der obigen Ebenengleichung (1) ist die Ebene durch zwei Richtungs- und einen Stützvektor definiert. In den folgenden Ebenengleichungen werden wir die identische Ebene mit nur noch einem Richtungsvektor darstellen. Es handelt sich dabei um den Richtungsvektor, der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Ebene (1) steht. Dieser eine Richtungsvektor definiert eindeutig eine Ebene.{{1}}[[1]] Beispiel: Der Bildschirm – wir nehmen an, dass er gerade ist – ist unsere Ebene; seine Richtungsvektoren sind beispielsweise durch die linke und die obere Kante des Monitors gegeben. Der gesuchte neue Richtungsvektor steht senkrecht aus dem Monitor in Richtung der Augen hervor.[[1]] Um die Koordinatenform der obigen Ebene (1) zu berechnen, gibt es drei Wege. Bei zwei Wegen wird ein Gleichungssystem gelöst, bei einem das Kreuzprodukt benutzt. Die Koordinatenform der Ebenengleichung hat allgemein die Form

    \[E: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=d\]

.

Gleichungssystem aus der Parameterform

Die Parameterform der Ebene wird zeilenweise in drei Gleichungen zerlegt:

    \begin{eqnarray*}x_{1}=0+r+s&\ &(2)\\x_{2}=1+r+2s&\ &(3)\\x_{3}=2+3r+2s&\ &(4)\end{eqnarray*}

Aus diesem linearen Gleichungssystem werden die Parameter r und s durch Lösen des Systems entfernt. Damit ergibt sich eine Gleichung, die nur noch x_1, x_2 und x_3 enthält. In diesem Fall multiplizieren wir (2) mit 2 und subtrahieren die neue Gleichung von (3) und (4). Damit ergibt sich

    \begin{eqnarray*}x_{2}-2x_{1} =1-r &\ &(5)\\x_{3}-2x_{1}=2+r&\ &(6)\end{eqnarray*}

Addieren der beiden Gleichungen (5) und (6), sowie Sortieren ergibt das gesuchte Endergebnis: E:\ -4x_1+x_2+x_3=3. Alle Punkte x_1, x_2, x_3), die diese Gleichung erfüllen, liegen in der Ebene. Diese Lösung ist nicht eindeutig. Sie kann dadurch verändert werden, dass die Gleichung vervielfacht wird. Die Gleichung

    \[-8x_1+2x_2+2x_3=6\ (7)\]

beschreibt dieselbe Ebene.

Der Vektor

    \[\begin{pmatrix}-4\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\]

ist der Normalenvektor zu den beiden Richtungsvektoren aus (1) und steht damit senkrecht auf ihnen.{{2}}[[2]]Gerade wurde der Weg beschrieben, um die Ebene aus der Parameterform in die Koordinatenform zu verwandeln. Beim umgekehrten Weg sucht man sich drei beliebige Punkte der Ebene und konstruiert aus diesen Punkte eine Ebene. Die Darstellung in Parameterform ist damit nicht eindeutig.[[2]]

Gleichungssystem aus der Definition der Koordinatenform

 

Es gibt auch einen direkten Weg von den drei Punkten A, B und C zur Koordinatenform. Die drei Punkte müssen die Form

    \[a*x_1+b*x_2+c*x_3=d \ (8)\]

erfüllen, um in der Ebene zu liegen. Werden die drei Punkte in diese Gleichung eingesetzt, ergibt sich ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und vier Variablen a, b ,c ,d):

    \begin{eqnarray*}0a+1b+2c=d&\ &(9)\\1a+2b+5c=d&\ &(10)\\1a+3b+4c=d&\ &(11)\end{eqnarray*}

Werden (10) und (11) voneinander subtrahiert, um die Variable a aus dem System zu entfernen, so ergibt sich folgendes System aus zwei Gleichungen und drei Variablen:

    \begin{eqnarray*}b+2c=d&\ &(12)\\-b+c=0&\ &(13)\end{eqnarray*}

Werden diese beiden Gleichungen addiert, um die Variable b zu eliminieren, so ergibt sich ein Wert für c in Abhängigkeit von d. Weiteres Einsetzen und Rückwärtsrechnen ergibt:

    \begin{eqnarray*}a&=&\frac{1}{3}d&\ &(14)\\b=\frac{1}{3}d&\ &(15)\\c=\frac{-4}{3}d&\ &(16)\end{eqnarray*}

Jetzt kann der Variablen d ein beliebiger Wert  zugewiesen werden; in diesem Beispiel bietet sich d=3 an, so das sich die Ebene durch Einsetzen in (8)

    \[-4x_1+x_2+x_3=3\]

ergibt.

 

Die Nutzung des Vektor- oder Kreuzprodukts

Mit dem Vektor- oder Kreuzprodukt wird ein Vektor berechnet, der senkrecht auf zwei gegebenen Vektoren steht. Genau dies ist hier gefragt. Setzt man die beiden Richtungsvektoren der Ebene (1) in die Formel für das Kreuzprodukt ein, so ergibt sich:

    \[\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 3 \end{array}\right)\mathtt{x}\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1*2-3*2\\ 3*1-1*2\\ 1*2-1*1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -4\\ 1\\ 1 \end{array}\right).\]

Dies ist genau der gesucht Vektor. Die Variable d kann nun durch Einsetzen eines Punktes der Ebene – beispielsweise des gegebenen Stützvektors – in die Formel für die Koordinatenform der Ebenengleichung errechnen:

    \[d=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=-4*0+1*1+1*2=3.\]

Somit ergibt sich auf hier als Ebenengleichung:

    \[-4x_1+x_2+x_3=3.\]

Die Normalenform

Die Normalenform unterscheidet sich von der Koordinatenform nicht wesentlich; die Darstellungsform ist nur eine andere. Auch bei der Normalenform wird der Normalenvektor zu den beiden Richtungsvektoren der Ebene (1) benötigt. Er kann genau so hergeleitet werden, wie im vorigen Abschnitt. Die Normalenform hat die Form

    \[\left(\vec{x}-\vec{p}\right)*\vec{n}=0.\]

Dabei ist \vec{p} ein gegebener Punkt der Ebene und \vec{n} der Normalenvektor. Konkret liegen alle Punkte (x_1/x_2/x_3) in der Ebene, die die folgende Normalengleichung erfüllen:

    \[E:\left[\vec{x}-\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}\right]*\begin{pmatrix}-4\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}=0 \ (17)\]

Um zu zeigen, dass die Darstellung in Normalenform eng verwandt mit der Darstellung in Koordinatenform, wird die Normalenform ausgerechnet. Auflösen der Klammer ergibt:

    \[\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-4\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-4\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}=0.\]

Da

    \[\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-4\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}=-4*0+1*1+1*2=3\]

ist, ergibt sich die obige Koordinatenform E: -4x_1+x_2+x_3=3. Die Normalenform und die Koordinatenform sind somit ähnlich in der Darstellung – inhaltlich aber gleich.

Die Hessesche Normalenform

 Für manche Berechnung ist es wichtig zu wissen, wie weit eine Ebene vom Ursprung des Koordinatensystems oder einem anderen Punkt entfernt ist. Um dies einfach zu berechnen, gibt es die Hessesche Normalenform. Dabei wird die Normalenform durch die Länge des Normalenvektors dividiert.

Statt des Normalenvektors \vec{n} aus dem vorigen Abschnitt benötigen wir nun den Normaleneinheitsvektor. Dieser Normaleneinheitsvektor \vec{n_0} ergibt sich, indem der Normalenvektor durch seine Länge

    \[\vec{n_{0}}=\frac{\vec{n}}{\left|\vec{n}\right|}.\]

In unserem Beispiel ist

    \[\left|\bar{n}\right|=\sqrt{(-4)^{2}+1^{2}+1^{1}}=\sqrt{18}\]

die Länge des Normalenvektors und

    \[\vec{n_{0}}=\frac{1}{\sqrt{18}}\begin{pmatrix}-4\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\]

der Normaleneinheitsvektor der Ebene. Formal hat die Ebene in Hessescher Normalenform das folgende Aussehen:

    \[E:\vec{n_{0}}*\vec{x}-d=0\ (18).\]

Sie hat damit Ähnlichkeiten mit der Ebene in Normalenform (17).

Da weiterhin die Ebene aus dem vorherigen Abschnitt beschrieben werden soll, muss einfach die Gleichung (17) durch \sqrt{18} dividiert werden, um die Hessesche Normalenform zu erhalten:{{3}}[[3]] Folgendes sei an dieser Stelle bereits angemerkt: Ersetzt man die Null auf der rechten Seite von (19) durch d , so misst d , den Abstand des Punktes x ⟶ ,von der Ebene. Auf diesen Sachverhalt wird hier eingegangen.[[3]]

    \[E:\frac{1}{\sqrt{18}}*\begin{pmatrix}-4\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}*\vec{x}-\frac{3}{\sqrt{18}}=0\ (19).\]

Diese Gleichung kann auch als

    \[E: \frac{-4x_1+x_2+x_3}{18}-\frac{3}{18}=0\]

geschrieben werden.

 

 

 

Drucken Drucken

Schreibe einen Kommentar