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Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

Das Distributivgesetz beschreibt, wie Multiplikationsklammern aufgelöst (ausmultiplizieren) bzw. aufgestellt (Ausklammern) werden. Formal lautet es

    \[a(b+c)=ab+ac.\]

Dabei ist es wichtig, dass die Regel Punkt- vor Strichrechnung beachtet wird. Betrachten wir ein Zahlenbeispiel: Es soll 3(5+4) ausgerechnet werden.{{1}}[[1]]Durch Ausrechnen der Klammer und Multiplizieren erkennt man, dass das Ergebnis 3*9=27 ist.[[1]] Anwenden des Gesetzes führt zu

    \[3(5+4)=3*5+3*4=15+12=27.\]

Diesen Vorgang nennt man Ausmultiplizieren.

Aufgabe: Berechne

    \begin{eqnarray*} &&3(x+5)\\ &&7(2+y)\\ &&a(b+3)\\ &&z(17-y)\\ &&-s(r+t)\\ &&-u(v-w) \end{eqnarray*}

Der umgekehrte Vorgang wird Ausklammern genannt. Dort wird aus einer Summe ein gemeinsamer Faktor vor die Klammer geschrieben. Schauen wir uns ein Beispiel an: 6xy+9zy. Beiden Termen ist der Faktor 3y gemeinsam – beide Summanden können glatt durch diesen Faktor dividiert werden. Das Ausklammern führt zu 3y(2x+3z). Beide Summanden werden durch den gemeinsamen Faktor 3y dividiert, da beim Ausmultiplizieren multipliziert wird.

Aufgabe: Berechne

    \begin{eqnarray*} &&6x+9y\\ &&15ab-12cd\\ &&-21g^2h^3+14gh^4\\ &&f^3g^2-15f^3g^3. \end{eqnarray*}

Es ist auch möglich, zwei Klammern miteinander zu multiplizieren:

    \[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.\]

Zahlenbeispiel:{{2}}[[2]]Durch Ausrechnen der Klammern ergibt sich 9*9=81. [[2]]\((4+5)*(6+3)=4*6+4*3+5*6+5*3=24+12+30+15=81. \(

Aufgabe: Berechne

    \begin{eqnarray*} &&(x+3)(x+5)\\ &&(z-7)(2+y)\\ &&(a-c)(b-3)\\ &&(x+z)(z-y)\\ &&(t-s)(r-t)\\ &&(u+v)(u-v)\\ &&(a+b)(a+b)\\ &&(c-d)(c-d) \end{eqnarray*}

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