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Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

Das Distributivgesetz beschreibt, wie Multiplikationsklammern aufgelöst (ausmultiplizieren) bzw. aufgestellt (Ausklammern) werden. Formal lautet es

    \[a(b+c)=ab+ac.\]

Dabei ist es wichtig, dass die Regel Punkt- vor Strichrechnung beachtet wird. Betrachten wir ein Zahlenbeispiel: Es soll 3(5+4) ausgerechnet werden.[1] Anwenden des Gesetzes führt zu

    \[3(5+4)=3*5+3*4=15+12=27.\]

Diesen Vorgang nennt man Ausmultiplizieren.

Aufgabe: Berechne

    \begin{eqnarray*} &&3(x+5)\\ &&7(2+y)\\ &&a(b+3)\\ &&z(17-y)\\ &&-s(r+t)\\ &&-u(v-w) \end{eqnarray*}

Der umgekehrte Vorgang wird Ausklammern genannt. Dort wird aus einer Summe ein gemeinsamer Faktor vor die Klammer geschrieben. Schauen wir uns ein Beispiel an: 6xy+9zy. Beiden Termen ist der Faktor 3y gemeinsam – beide Summanden können glatt durch diesen Faktor dividiert werden. Das Ausklammern führt zu 3y(2x+3z). Beide Summanden werden durch den gemeinsamen Faktor 3y dividiert, da beim Ausmultiplizieren multipliziert wird.

Aufgabe: Berechne

    \begin{eqnarray*} &&6x+9y\\ &&15ab-12cd\\ &&-21g^2h^3+14gh^4\\ &&f^3g^2-15f^3g^3. \end{eqnarray*}

Es ist auch möglich, zwei Klammern miteinander zu multiplizieren:

    \[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.\]

Zahlenbeispiel:[2]

    (4+5)*(6+3)=4*6+4*3+5*6+5*3=24+12+30+15=81. \( <strong>Aufgabe</strong>: Berechne<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="http://lernwerkstatt-selm.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e1d6ad34390b656fc42156641a48574b_l3.png" height="217" width="113" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{eqnarray*} &&(x+3)(x+5)\\ &&(z-7)(2+y)\\ &&(a-c)(b-3)\\ &&(x+z)(z-y)\\ &&(t-s)(r-t)\\ &&(u+v)(u-v)\\ &&(a+b)(a+b)\\ &&(c-d)(c-d) \end{eqnarray*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> [spoiler] <span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="http://lernwerkstatt-selm.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b1a5f648f7036365c49b4caabae2e73c_l3.png" height="220" width="439" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{eqnarray*} (x+3)(x+5)&=&x^2+3x+5x+15=x^2+8x+15\\ (z-7)(2+y)&=&2z+yz-14+2y\\ (a-c)(b-3)&=&ab-3a-bc+3b\\ (x+z)(z-y)&=&xz-xy+z^2-yz\\ (t-s)(r-t)&=&rt-t^2-rs+st\\ (u+v)(u-v)&=&u^2+uv-uv-v^2=u^2-v^2\\ (a+b)(a+b)&=&a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\\ (c-d)(c-d)&=&c^2-cd-cd+d^2=c^2-2cd+d^2 \end{eqnarray*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Die letzten drei Gleichungen sind dabei - in dieser Reihenfolge - die 3., 1. und 2. binomische Formel. [/spoiler]  <div id="footnote-list" style="display:inherit"><span id=fn-heading>Footnotes</span>    (↵ returns to text)<ol><li id="footnote-1" class="fn-text">Durch Ausrechnen der Klammer und Multiplizieren erkennt man, dass das Ergebnis \(3*9=27

ist.

  • Durch Ausrechnen der Klammern ergibt sich 9*9=81.
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