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Differenzenquotient

Mit Hilfe des Differenzenquotienten wird die Steigung einer Funktion in einem Bereich errechnet. Betrachten wir die Abbildung 1. Dort sehen wir die Funktion f⁡(x)=x^2+1. Zudem sind die zwei Punkte P_1\ (2/5) und P_2\ (4/17) eingezeichnet. Diese Punkte sollen uns helfen, das Konzept der Differenzenquotienten zu verstehen.

 

Abbildung 1: Abschätzung der Steigung

Um die Steigung der Funktion f⁡(x)=x^2+1 im Punkt P_1 zu schätzen, betrachten wir die Gerade, die durch die beiden Punkte P_1 und P_2 geht und berechnen deren Steigung m. Das Ergebnis dieser Berechnung nennt man einen Differenzenquotienten{{1}}[[1]]Da in der Formel (1) zwei Differenzen dividiert werden, nennt man das Ergebnis einen Differenzenquotienten.[[1]] oder mittlere Änderungsrate.

Als mittlere Änderungsrate bezeichnen wir die Steigung zwischen den beiden Punkten P_1 und P_2:

(1)   \begin{equation*}m=\frac{f⁡(x_2)-f⁡(x_1)}{x2-x1}. \end{equation*}

Während eine Gerade an jeder Stelle die gleiche Steigung hat – m ist konstant – hängt die mittlere Änderungsrate bei allen nicht-linearen Funktionen von dem Ort der Betrachtung ab. Berechnen wir im obigen Beispiel f⁡(x)=x^2+1 die Steigung zwischen den beiden Stellen x=2 und x=4, so erhalten wir für diese Steigung:

    \[m=\frac{f⁡(4)-f⁡(2)}{4-2}=\frac{17-5}{4-2}=\frac{12}{2}=6.\]

Führen wir diese Berechnung für x=5 und x=6 durch, so ergibt sich für diesen Bereich:

    \[m=\frac{f⁡(6)-f⁡(5)}{6-5}=\frac{37-26}{1}=11.\]

Die mittlere Änderungsrate ist also abhängig von der Stelle der Betrachtung, wenn wir keine lineare Funktion haben. Zudem hängt das Ergebnis von der Schrittweite ab; die Steigung ist beispielsweise zwischen x=2 und x=4 auf der einen Seite – nämlich m=6 – und x=2 und x=6 auf der anderen Seite – m=8 – verschieden.

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