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Differentialquotient

In diesem Abschnitt berechnen wir die Steigung einer Funktion in einem Punkt. Bisher haben wir mit Hilfe des Differenzenquotienten die mittlere Änderungsrate einer Funktion berechnet. Wenn wir an der aktuellen Änderungsrate interessiert sind, müssen wir noch einige Überlegungen anstellen. Die aktuelle Änderungsrate einer Funktion an einer Stelle entspricht der Steigung der Tangente an diese Funktion in diesem Punkt.

Abbildung 1: Abschätzung der Steigung

Abb. 1: Differenzenquotient

Ein Blick auf die Abbildung 1 zeigt, dass die aktuelle Änderungsrate im Punkt P_2 von der mittleren Änderungsrate stark abweicht, weil der Punkt P_1 ziemlich weit von P_2 entfernt ist. Ein Mittel, diese Abweichung zu verringern, ist es, den Abstand zwischen den Punkten zu verringern. Je näher P_1 an P_2 heran rückt, um so genauer wird die Schätzung mit Hilfe des Differenzenquotienten. Aus rechentechnischen Gründen kann P_1 nicht auf P_2 fallen – durch eine Differenz von 0 darf man in dem Differenzenquotienten

(1)   \begin{equation*}m=\frac{f⁡(x_2)-f⁡(x_1)}{x_2-x_1}.\end{equation*}

nicht teilen – graphisch bedeutet dies, dass man keine Gerade durch lediglich einen Punkt festlegen kann. Aus diesem Grund bedient man sich des Differentialquotienten.

Die aktuelle Änderungsrate erhält man aus der mittleren Änderungsrate, wenn der Abstand zwischen den beiden betrachteten Punkten unendlich klein wird:

(2)   \begin{equation*}m=\lim_{x_1\to x_2}\frac{f⁡(x_2)-f⁡(x_1)}{x_2-x_1}\end{equation*}

oder in anderer Formulierung

(3)   \begin{equation*}m=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_2+h)-f⁡(x_2)}{h}.\end{equation*}

Beide Gleichungen beschreiben formal den Prozess, dass der Punkt P_1 möglichst nahe an den Punkt P_2 rückt. Im Fall der Gleichung (2) geschieht dies direkt, im Fall der Gleichung (3) über eine Hilfsvariable h, die den Abstand zwischen den beiden Punkten auf der x-–Achse misst. Sehen wir uns dies an einem Beispiel an. Wir wollen die Steigung der Funktion f⁡(x)=x^2+1 an der Stelle x=2 bestimmen. Es gilt nach der x-–Methode:

    \begin{eqnarray*}m&=&\lim_{x_1\to 2}\frac{f⁡(x_1)-f⁡(2)}{x_1-2}\\ &=&\lim_{x_1\to 2}\frac{x_1^2+1-5}{x_1-2}\\ &=&\lim_{x_1\to 2}\frac{x_1^2-4}{x_1-2}\\ &=&\lim_{x_1\to 2}\frac{(x_1-2)(x_1+2)}{x_1-2}\\ &=& \lim_{x_1\to 2}(x_1+2)\\ &=&4\end{eqnarray*}

Nach der h–Methode ergibt sich:

    \begin{eqnarray*}m&=&\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f⁡(2)}{h}\\ &=&\lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^2+1-5}{h}\\ &=&\lim_{h\to 0}\frac{4+4h+h^2-4}{h}\\ &=&\lim_{h\to 0}(4h+4)\\ &=&4.\end{eqnarray*}

Beide Methoden führen zum gleichen Ergebnis. Wir erhalten ein eindeutiges Ergebnis, das wir als aktuelle Änderungsrate der Funktion interpretieren können: Wenn sich bei der Funktion f⁡(x)=x^2+1 an der Stelle x=2 der x-–Wert um eine kleine Einheit{{1}}[[1]]Es handelt sich um eine kleine Einheit, da auf der Seite über den Differenzenquotienten gesehen haben, dass die Änderungsrate an jeder Stelle dieser Funktion einen anderen Wert annimmt. Bei schon geringfügig höheren Werte von x , ist auch die aktuelle Änderungsrate ungleich 4.[[1]]erhöht, so steigt der y-–Wert um das Vierfache dieses Wertes. Wenn wir uns an die grundlegende Bedeutung von m erinnern, dann können wir auch schreiben, dass die Tangente an die Funktion f⁡(x)=x^2+1 an der Stelle x=2 die Steigung 4 hat.

 

Die Ableitung f'⁡(x_0) einer Funktion f⁡(x) an der Stelle x_0\in \mathbb{D} entspricht dem Grenzwert des Differenzenquotienten:

    \[f'⁡(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f⁡(x_0)}{h}.\]

Die Ableitung an dieser Stelle entspricht der Steigung der Tangente an die Funktion f⁡(x) an dieser Stelle. Existiert der Grenzwert an der Stelle x_0, so nennt man die Funktion differenzierbar an der Stelle x_0. Dabei ist es wichtig, dass der Grenzwert der gleiche ist – egal, ob man sich dem Punkt von oben h>0) oder von unten h<0 ) nähert.

Betrachten wir ein Beispiel für die Funktion f⁡(x)=\sqrt{x}, die an einer Stelle x=0 nicht differenzierbar ist. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist x\in \mathbb{R}\ge 0. Ermitteln des Grenzwertes mit Hilfe der h–Methode ergibt:

    \begin{eqnarray*}m&=&\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}\\ &=&\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h}}{h}\\ &=&\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{h}}.\end{eqnarray*}

Dieser Grenzwert existiert nicht, da nicht durch 0 geteilt werden darf. Die Funktion f⁡(x)=\sqrt{x} ist an der Stelle x=0 nicht differenzierbar. An allen anderen Stellen x>0 ist sie sehr wohl differenzierbar. Graphisch bedeutet eine Nicht–Differenzierbarkeit, dass man in dem entsprechenden Punkt keine eindeutige Tangente an diese Funktion legen.

Abbildung 2: Beispiele für nicht-differenzierbare Funktionen

In der Abbildung 2 ist auf der linken Seite der Graph der Wurzelfunktion und auf der rechten Seite der Graph der Betragsfunktion f⁡(x)=|x-3| dargestellt. Die Wurzelfunktion ist an der Stelle x=0 und die Betragsfunktion an der Stelle x=3 nicht differenzierbar. Bei der Wurzelfunktion “endet” die Funktion an der Stelle 0 und man kann durch diesen Punkt unendlich viele Geraden legen, die mit dem Graphen der Funktion nur einen Punkt (0/0) gemeinsam haben. Bei der Betragsfunktion ist der Punkt (0/3) die nicht-differenzierbare Stelle. Auch hier können unendlich viele Geraden durch diesen Punkt gelegt werden, die nur einen Punkt mit dem Graphen der Funktion gemeinsam haben.

Eng verbunden mit dem Begriff der Differenzierbarkeit ist der Begriff der Stetigkeit. Eine Funktion, die an einer Stelle differenzierbar ist, ist dort auch stetig. Allgemein ist eine Funktion stetig, wenn

    \[\lim_{h\to 0}f(x+h)=f⁡(x)\]

gilt. Damit sind Funktionen mit Sprungstellen nicht stetig. Es gibt Funktionen – wie die Betragsfunktion – die zwar stetig sind, aber an einigen Stellen nicht differenzierbar sind.

Differenzenquotienten spezieller Funktionen

 In diesem Abschnitt werden die Differentialquotienten einiger spezieller Funktionen – e–Funktion, Logarithmusfunktion und Sinusfunktion – berechnet.

Die e-Funktion

Der Differentialquotient der e-–Funktion f(x)=e^x hat die Form

    \begin{eqnarray*}m&=&\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}\\ &=&\lim_{h\to 0}\frac{e^x(e^h-1)}{h}\\ &=&e^x\lim_{h\to 0}\frac{(e^h-1)}{h}.\end{eqnarray*}

Um den Grenzwert des Bruches in diesem Ausdruck zu bestimmen, wird die Definition des Wertes von e angewendet. Es gilt

(4)   \begin{eqnarray*}e&=&\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\\ &=&\lim_{h\to 0}(1+h)^\frac{1}{h}.\end{eqnarray*}

Ersetzen in \frac{e^h-1}{h} ergibt

    \[\frac{(1+h)^\frac{h}{h}-1}{h}=\frac{1+h-1}{h}=\frac{h}{h}=1.\]

Somit ist der Grenzwert dieses Ausdrucks auch gleich 1. Damit ist die Ableitung von f(x)=e^x ebenfalls e^x.

 Betrachten wir zwei Fälle, in denen der Exponent nicht nur aus einem x besteht.
Wenden wir uns zuerst der Ableitung von f(x)=e^{2x} zu. Der Differentialquotient sieht wie folgt aus:

    \begin{eqnarray*}m&=&\lim_{h\to 0}\frac{e^{2x+2h}-e^{2x}}{h}\\ &=&\lim_{h\to 0}\frac{e^{2x}\left(e^{2h}-1\right)}{h}\\ &=&e^{2x}\lim_{h\to 0}\frac{e^{2h}-1}{h}.\end{eqnarray*}

Ersetzen wir nun e wieder gemäß der obigen Definition (4), so ergibt sich

    \begin{eqnarray*}m&=&e^{2x}\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^2-1}{h}\\ &=&e^{2x}\lim_{h\to 0}\frac{1+2h+h^2-1}{h}\\ &=&e^{2x}\lim{_h\to 0}\frac{2h+h^2}{h}\\ &=&2e^{2x}.\end{eqnarray*}

Der zweite Fall ist etwas komplizierter: f(x)=e^{x^2}. Der Differentialquotient hat dann die Form{{2}}[[2]]Es sei darauf aufmerksam gemacht, dass beim Ausklammern im Exponenten eine binomische Formel verwendet wird.[[2]]

    \begin{eqnarray*}m&=&\lim_{h\to 0}\frac{e^{(x+h)^2}-e^{x^2}}{h}\\ &=&\lim_{h\to 0}\frac{e^{x^2}\left(e^{2xh+h^2}-1\right)}{h}\\ &=&e^{x^2}\lim_{h\to 0}\frac{\left( e^{2xh+h^2}-1\right)}{h}.\end{eqnarray*}

 Betrachten wir wieder den Grenzwert des Bruchs und ersetzen wie oben e wieder durch seine Definition, so ergibt sich

    \begin{eqnarray*}\frac{e^{2xh+h^2}-1}{h}&=&\frac{(1+h)^{\frac{2xh+h^2}{h}}-1}{h}\\ &=&\frac{(1+h)^{2x+h}-1}{h}.\end{eqnarray*}

 Da der Exponent des Binoms (1+h)^{2x+h} unbekannt ist, können wir nur einige wenige Aussagen über den ausmultiplizierten Term machen – diese reichen jedoch aus. Ausmultiplizieren ergibt{{3}}[[3]]Siehe dazu den Abschnitt über das Pascalsche Dreieck.[[3]]

    \begin{eqnarray*}\frac{e^{2xh+h^2}-1}{h}&=&\frac{1^{2x+h}+(2x+h)1^{2x+h-1}h+\ldots+(2x+h)1h^{2x+h-1}+h^{2x+h}-1}{h}\\ &=&\frac{h\left((2x+h)1^{2x+h-1}+\ldots+(2x+h)1h^{2x+h-2}+h^{2x+h-1}\right)}{h}\\ &=& (2x+h)1^{2x+h-1}+\ldots+(2x+1)1h^{2x+h-2}+h^{2x+h-1}.\end{eqnarray*}

Da in jedem der Terme außer dem ersten ein h enthalten ist, ist der Grenzwert dieses Ausdrucks gerade 2x, er entspricht also gerade der inneren Ableitung der Ursprungsfunktion.

Die Funktion des natürlichen Logarithmus

Der Differentialquotient der \ln-Funktion hat folgendes Aussehen:

    \begin{eqnarray*}m&=&\lim_{h\to 0}\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}\\ &=&\lim_{h\to 0}\frac{\ln\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}\\ &=&\lim_{h\to 0}\frac{\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}.\end{eqnarray*}

An dieser Stelle wird der Bruch mit x erweitert und anschließend eine Rechenregel für Logarithmen angewendet:

    \begin{eqnarray*}m&=&\lim_{h\to 0}\frac{x\ln \left(\frac{x+h}{x}\right)}{xh}\\ &=&\lim_{h\to 0} \frac{\ln\left(\frac{x+h}{x}\right)^\frac{x}{h}}{x}.\end{eqnarray*}

Wir ersetzen wieder nach der Definition (4) und erhalten

    \[m=\frac{\ln e}{x}=\frac{1}{x}.\]

Die Sinusfunktion

Der Differentialquotient der Sinusfunktion

    \[m=\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\]

wir mit Hilfe von Rechenregeln für trigonometrische Funktionen umgeformt. Diese Rechenregeln sind:

    \begin{eqnarray*}\sin(a+b)&=&\sin(a)cos(b)+\sin(b)cos(a)\\ \cos(-b)&=&\cos(b)\\ \sin(a)&=&-\sin(a)\\\sin(a-b)&=&\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a).\end{eqnarray*}

Damit ergibt sich für die Differenz

    \[\sin(a+b)-\sin(a-b)=2\sin(b)\cos(a).\]

Nun werden die beiden Variablen a und b durch x und h ausgedrückt. Um auf eine Struktur wie im Differentialquotienten zu kommen, muss

    \begin{eqnarray*}a+b&=&x+h \text{\ und}\\a-b&=&x\end{eqnarray*}

gelten. Lösen dieses Gleichungssystems führt zu

    \begin{eqnarray*}b&=&\frac{h}{2}\text{\ und}\\ a&=&x+\frac{h}{2}.\end{eqnarray*}

Ersetzen im Differentialquotienten führt zu

    \begin{eqnarray*}m&=&\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\\ &=&\lim_{h\to 0}\frac{2\sin\left(\frac{h}{2}\right) cos\left( x+\frac{h}{2}\right)}{h}\\ &=&\lim_{h\to 0}\frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)\cos\left( x+\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}\\ &=&\lim_{h\to 0}\frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}\lim_{h\to 0}\cos\left( x+\frac{h}{2}\right).\end{eqnarray*}

Nach der Regel von L’Hospital ist der Grenzwert des ersten Ausdrucks 1. Somit bleibt nur noch der Ausdruck

    \[m=\lim_{h\to 0}\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)=\cos(x)\]

über.

 

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