Die Lage von Parabeln und Geraden

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Veröffentlicht am 2. Oktober 2012 | Von Michael Dröttboom | Leave a response

Parabeln und Geraden können keinen, einen oder zwei Punkte gemeinsam haben. Im ersten Fall spricht man von Passanten, im zweiten von Tangenten und im dritten von Sekanten.Wie eine Parabel und eine Gerade zueinander liegen, kann man entweder graphisch oder rechnerisch ermitteln. Wie betrachten hier den rechnerischen Weg.

Betrachten wir ein Beispiel. Wir wollen wissen, wie die Parabel $f(x)=2x^2-5x-3$ und die Gerade $g_1(x)=6x+4$ zueinander liegen. Um mögliche Schnittpunkte zu ermitteln, werden die beiden Funktionen gleichgesetzt:

$2x^2-5x+7=7x-3.$

Umformen und Verwenden der $p$ – $q$ -Formel ergibt:

$\begin{eqnarray*}&&2x^2-12x+10=0\\&\Longleftrightarrow&x^2-6x+5=0\\&\Longrightarrow&x_{1/2}=3\pm \sqrt{9-5}\\&\Longrightarrow&x_1=5 \vee x_2=1.\end{eqnarray*}$

Die Gleichung hat zwei Lösungen. Es ergeben sich zwei Schnittpunkte; die $y$ -Koordinaten der Schnittpunkte erhält man durch Einsetzen der $x$ -Werte eine der Funktionen. Am einfachsten wählt man die lineare Funktion und erhält als Schnittpunkte $(1/4)$ und $(5/32)$ . Die Gerade ist also eine Sekante zu der Parabel. Die Gerade $g_2(x)=7x-11$ ist eine Tangente zu der obigen Parabel und $g_3(x)=7x-25$ ist eine Passante.

Aufgabe: Beweise die letzten beiden Behauptungen

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Gleichsetzen ergibt $\begin{eqnarray}&&2x^2-5x+7=7x-11\\&\Longleftrightarrow&2x^2-12x+18=0\\&\Longleftrightarrow&x^2-6x+9=0\\&\Longrightarrow&x_{1/2}=3\pm\sqrt{9-9}\\&\Longrightarrow&x_{1/2}=3.\end{eqnarray}$ Es ergibt sich nur den Punkt $(3/10)$ , den Gerade und Parabel gemeinsam haben. Die Gerade $g_2(x)=7x-11$ ist daher eine Tangente zur der Parabel. Für den Fall der Gerade $g_3(x)=7x-25$ ergibt sich $\begin{eqnarray}&&2x^2-5x+7=7x-25\\&\Longleftrightarrow&2x^2-12x+32=0\\&\Longleftrightarrow&x^2-6x+16=0\\&\Longrightarrow&x_{1/2}=3\pm\sqrt{9-16}.\end{eqnarray}$ Die negative Zahl unter der Wurzel bedeutet, dass es keine Lösung – und damit keinen gemeinsamen Punkt zwischen Gerade und Parabel – gibt. Die Gerade $g_3(x)=7x-25$ ist daher eine Passante zu der Parabel.

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