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Die Lage von Parabeln und Geraden

Parabeln und Geraden können keinen, einen oder zwei Punkte gemeinsam haben. Im ersten Fall spricht man von Passanten, im zweiten von Tangenten und im dritten von Sekanten.Wie eine Parabel und eine Gerade zueinander liegen, kann man entweder graphisch oder rechnerisch ermitteln. Wie betrachten hier den rechnerischen Weg.

Betrachten wir ein Beispiel. Wir wollen wissen, wie die Parabel f(x)=2x^2-5x-3 und die Gerade g_1(x)=6x+4 zueinander liegen. Um mögliche Schnittpunkte zu ermitteln, werden die beiden Funktionen gleichgesetzt:

    \[2x^2-5x+7=7x-3.\]

Umformen und Verwenden der pq-Formel ergibt:

    \begin{eqnarray*}&&2x^2-12x+10=0\\&\Longleftrightarrow&x^2-6x+5=0\\&\Longrightarrow&x_{1/2}=3\pm \sqrt{9-5}\\&\Longrightarrow&x_1=5 \vee x_2=1.\end{eqnarray*}

Die Gleichung hat zwei Lösungen. Es ergeben sich zwei Schnittpunkte; die y-Koordinaten der Schnittpunkte erhält man durch Einsetzen der x-Werte eine der Funktionen. Am einfachsten wählt man die lineare Funktion und erhält als Schnittpunkte (1/4) und (5/32). Die Gerade ist also eine Sekante zu der Parabel. Die Gerade g_2(x)=7x-11 ist eine Tangente zu der obigen Parabel und g_3(x)=7x-25 ist eine Passante.

Aufgabe: Beweise die letzten beiden Behauptungen

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Entscheidend für die Lage von Gerade und Parabel ist – rechnerisch gesehen – wie viele Lösungen die Gleichsetzung der beiden Funktionen ergibt.

Aufgaben: Wie liegen Gerade und Parabel in den folgenden Fällen zueinander?

  1. f_1(x)=x^2-5x+7 und g_1(x)=-5x+11
  2. f_2(x)=x^2-3x+5 und g_2(x)=x-4
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