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Das Lagrangeverfahren

Das Lagrangeverfahren ist eine Methode zur Lösung von Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen. Sie kann besonders gut angewendet werden, wenn es mehrere Nebenbedingungen gibt oder sich die Nebenbedingungen nicht alle nach einer Variablen auflösen und damit nicht in die Zielfunktion einsetzen lassen.

Betrachten wir ein Beispiel: Es ist ein Rechteck möglichst geringen Umfangs zu bestimmen, dessen Fläche 9 cm^2 ist. Die Zielfunktion ist der Umfang des Rechtecks: U(a,b)=2a+2b. Die Nebenbedingung ist, dass die Fläche des Rechtecks 9 cm^2 sein soll, also A(a,b)=9. Wir wollen also das folgende Problem lösen:{{2}}[[2]]Die Abkürzung „u. d. N.“ bedeutet unter der Nebenbedingung.[[2]]

    \begin{eqnarray*}\min_{a,b} &&2a+2b\\\text{ u.\ d.\ N. }&&ab-9=0\end{eqnarray*}

Dabei ist die Nebenbedingung schon so umgeformt worden, dass auf der einen Seite der Gleichung 0 steht.

Nun wird die Lagrangefunktion gebildet. Sie besteht aus der Zielfunktion, zu der jede der umgeformten Nebenbedingungen multipliziert mit einem eigenen Lagrangemultiplikator addiert wird:

    \[L(a,b,\lambda)=2a+2b+\lambda(ab-9).\]

Es handelt sich um eine Funktion mit mehreren Variablen. Diese Funktion wird nun minimiert, indem die notwendigen Bedingungen betrachtet und das entstehende Gleichungssystem gelöst wird:

    \begin{eqnarray*}L_{a}=\frac{\partial L(a,b,\lambda)}{\partial a}&=&2+\lambda b=0\\L_{b}=\frac{\partial L(a,b,\lambda)}{\partial b}&=&2+\lambda a=0\\L_{\lambda}=\frac{\partial L(a,b,\lambda)}{\partial\lambda}&=&ab-9=0.\end{eqnarray*}

Umstellen der ersten beiden Gleichungen führt zu a=b. Einsetzen dieses Ergebnisses in die dritte Gleichung ergibt beispielsweise a^2=9 und damit a=3. Damit folgt aus der ersten errechneten Bedingung b=3 und als minimaler Umfang U=12. Die hinreichenden Bedingungen für ein Minimum sind wegen L_{aa}=L_{bb}=2 und L_{ab}=\lambda=-1,5 erfüllt:

    \begin{eqnarray*}L_{aa}&>&0\\L_{bb}&>&0\\L_{aa}L_{bb}-L_{ab}^{2}&>&0.\end{eqnarray*}

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