Zwei Ebenen haben einen Abstand ungleich 0, wenn sie parallel sind. Dann hat jeder Punkt der einen Ebene den gleichen Abstand zur anderen Ebene. Somit kann eine der beiden Methoden (Methode 1: Lotfußpunkt, Methode 2: Hessesche Normalenform) angewendet werden, um den Abstand eines Punktes zu einer Ebene zu berechnen.
Kategorie: Lineare Algebra und analytische Geometrie
Vektorrechnung: Der Abstand einer Gerade zu einer Ebene
Eine Gerade, die keinen Punkt mit einer Ebene gemeinsam hat, muss parallel zu dieser Ebene verlaufen. Nur in diesem Fall wird sich ein Abstand von ungleich Null ergeben, wenn wir Abstand als “geringstmöglichen Abstand” verstehen. Schneiden sich Ebene und Gerade, dann ist der Abstand im Schnittpunkt 0.
Vektorrechnung: Der Abstand zweier Geraden
Zwei Geraden haben dann einen von Null verschiedenen Abstand, wenn sie parallel oder windschief sind. Identische oder sich schneidende Geraden haben einen Abstand von Null.
Vektorrechnung: Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden
Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden zu berechnen, benötigen wir eine Hilfsebene, die senkrecht zu der Geraden ist und den Punkt enthält. Dann werden der Schnittpunkt dieser Ebene und der Geraden bestimmt und anschließend der Abstand dieses Punktes zum gegebenen Punkt berechnet.
Vektorrechnung: Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene (Methode Hessesche Normalenform)
In diesem Abschnitt soll zuerst der Abstand einer Ebene zum Koordinatenursprung und danach der Abstand zu einem beliebigen Punkt untersucht werden. In beiden Fällen wird die Hessesche Normalenform der Ebenengleichung benutzt.
Vektorrechnung: Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene (Methode Lotfußpunkt)
Um den Abstand eines Punktes zu einer Ebene zu berechnen, kann man eine zur Ebene senkrechte Gerade, die durch den gegebenen Punkt verläuft, konstruieren und anschließend den Abstand des gegebenen Punktes zum Schnittpunkt von Gerade und Ebene, dem Lotfußpunkt, ausrechnen.
Vektorrechnung: Der Abstand zweier Punkte
Der Abstand zweier Punkten wird mit Hilfe des Vektors berechnet, der sie verbindet. Damit wird auch die Länge dieses Vektors berechnet.
Zentrische Streckung
Bei der zentrischen Streckung werden bei einer Figur ausgehend vom Streckzentrum alle Abstände zu diesem Zentrum in einem vorgegebenen Verhältnis verändert.
Vektor– oder Kreuzprodukt
Das Vektor– Kreuzprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor, der orthogonal zu den beiden gegebenen Vektoren ist.
Vervielfachung oder Skalierung von Vektoren
Ein Vektor wird vervielfacht, indem man den Vektor mit einer Zahl multipliziert: