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Bedingte Wahrscheinlichkeiten – Die Formel von Bayes

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit beschreibt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Möglichkeit eintritt, wenn wir bereits wissen, dass eine andere Möglichkeit verwirklicht worden ist.

Schauen wir uns ein Beispiel an, das wir schon beim Thema Vierfeldertafel und Baumdiagramme verwendet haben:

Schülerinnen Schüler gesamt
Zu Fuß 200 220 420
Bus 350 230 580
gesamt 550 450 1000

 

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist in diesem Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit dem Bus zur Schule kommt, wenn wir bereits wissen, dass es sich um eine Schülerin handelt. Dabei ist die Information, das es sich um eine Schülerin handelt, die Bedingung. Wir schreiben dafür P_B(A) oder in dem genannten Beispiel

    \begin{equation*} P_{\mbox{Schuelerin}}(\mbox{Bus fahren}) \end{equation*}

Wie wird dies nun berechnet? Die Gesamtheit, von der die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden soll, sind nicht mehr unsere 1.000 Schülerinnen und Schüler, sondern nur noch die 550 Schülerinnen. Von diesen kommen 350 mit dem Bus. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schülerin mit dem Bus fährt, ist also \frac{350}{550} = 0,\overline{63}=63,\overline{63}\%. Allgemein gilt für eine bedingte Wahrscheinlichkeit

    \begin{equation*} P_B(A)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}. \end{equation*}

Diese Formel beschreibt allgemein das Prinzip, das wir gerade angewendet haben. Unter dem Bruchstrich steht die Wahrscheinlichkeit der Bedingung (im Beispiel: Die Anzahl der Schülerinnen), auf dem Bruchstrich steht die Wahrscheinlichkeit, dass beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind (im Beispiel: Es handelt sich um eine Schülerin und sie fährt Bus).

In einem Baumdiagramm stehen die bedingten Wahrscheinlichkeiten an den Ästen der zweiten Ebene. Damit können wir die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit herleiten. Im ersten Baumdiagramm wollen wir die Wahrscheinlichkeit P_{\mbox{Schuelerin}}(\mbox{Bus fahren}) bestimmen. Dies ist die Wahrscheinlichkeit, die am zweiten Ast der zweiten Ebene steht. Wenn wir das Baumdiagramm zuerst zeichnen, fehlt diese Wahrscheinlichkeit, weil diese Information nicht direkt in der Vierfeldertafel enthalten ist. Wir wissen aber, dass nach der Pfadregel

    \[P(\mbox{Schuelerin})*P_{\mbox{Schuelerin}}(\mbox{Bus fahren})=P(\mbox{Schuelerin} \cap \mbox{Bus fahren})\]

gilt. Diese Formel müssen wir nur noch umstellen und erhalten die Formel von Bayes.

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