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Baumdiagramme

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Baumdiagramme genutzt, um Zufallsexperimente mit mehreren Stufen zu verdeutlichen, z. B. das wiederholte Würfeln eines Würfels oder das wiederholte Werfen einer Münze oder mehrere Züge aus einer Urne.

Betrachten wir ein Beispiel, bei dem aus einer Urne nacheinander 2 Kugeln gezogen werden. Die jeweils gezogene Kugel wird wieder zurück in die Urne gelegt. In der Urne liegen insgesamt 10 Kugeln: 5 weiße, 3 schwarze und 2 blaue. Da zweimal gezogen wird, handelt es sich um ein zweistufiges Wahrscheinlichkeitsexperiment.

Der Aufbau eines Wahrscheinlichkeitsbaums

Ein Baumdiagramm hat immer einen Knoten als Anfang. Dieser (Anfangs-)Knoten steht für den ersten Zug in dem Wahrscheinlichkeitsexperiment. Von ihm gehen so viele Äste ab, wie man Möglichkeiten hat. Von dem Anfangsknoten des zu unserem Beispiels gehörenden Baums gehen drei Äste ab – je einer für die Farben Weiß, Schwarz und Blau, weil dies die Möglichkeiten hat, die man beim Ziehen hat. An das Ende jedes Astes kommt eine neuer Knoten. An den Ästen stehen die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten (Weiß: 0,5, Schwarz: 0,3 und Blau: 0,2); diese Wahrscheinlichkeiten addieren sich immer zu 1 bzw. 100%.

Abbildung 1: Die erste Stufe eines Baumdiagramms
Abbildung 1: Die erste Stufe eines Baumdiagramms

 

 

Experimente mit Zurücklegen

In unserem Beispiel haben wir somit den ersten Zug des Zufallsexperiments simuliert (siehe Abbildung 1). Wir haben einen Anfangsknoten, von dem drei Äste ausgehen. An jeden dieser Äste kommt an das Endes des Astes  ein neuer Knoten. Diese Knoten symbolisieren nun den zweiten Zug. Erneut  gehen von diesen Knoten so viele Äste ab, wie es Möglichkeiten gibt. Durch das Zurücklegen der im ersten Zug gezogenen Kugel ist die Urne genau so gefüllt wie am Anfang des Experimentes. Dies bedeutet, dass von jedem der drei Knoten drei Äste mit denselben Wahrscheinlichkeiten ausgehen wie vom Anfangsknoten. Auch an das Ende dieser Äste kommen wieder Knoten – dies sind allerdings die Endknoten, da unser Experiment nach zwei Zügen beendet ist. Sollte es weitere Züge geben, würden wir einfach an diese gerade entstandenen Knoten weitere Äste ansetzen.

Abbildung 2: Baumdiagramm mit zwei Stufen bei Zurücklegen der Kugeln
Abbildung 2: Baumdiagramm mit zwei Stufen bei Zurücklegen der Kugeln

Unser Baum hat neun Endknoten (siehe Abbildung 2). Jeder dieser Knoten symbolisiert eines der möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments. Diese Ergebnisse werden hier als Paar von Farben angegeben. Dabei gibt die Farbe an der ersten Stelle die Farbe der im ersten Zug gezogenen Kugel und die Farbe an der zweiten Stelle die Farbe der im zweiten Zug gezogenen Kugel an. (Schwarz/Weiß) ist daher etwas anderes als (Weiß/Schwarz). Die Ergebnisse an den Endknoten sind in diesem Beispiel

  • (Schwarz/Schwarz)
  • (Schwarz/Weiß)
  • (Schwarz/Blau)
  • (Weiß/Schwarz)
  • (Weiß/Weiß)
  • (Weiß/Blau)
  • (Blau/Schwarz)
  • (Blau/Weiß)
  • (Blau/Blau)

Zusammengefasst lässt sich folgendes über Baumdiagramme sagen:

  • Ein Baumdiagramm fängt immer in einem Knoten an.
  • Alle folgenden Knoten des Baums sind mit diesem Anfangsknoten durch einen Ast oder einen Weg von Ästen verbunden.
  • Die Anzahl der Äste, die von einem Knoten ausgehen, wird durch die Anzahl der Möglichkeiten bestimmt, die es bei diesem Zug gibt.
  • Die Wahrscheinlichkeiten der Äste, die von einem Knoten ausgehen, ergeben immer 1 bzw. 100\%.
  • Jeder Zug des Zufallsexperiments wird durch eine neue Ebene von Knoten in dem Baumdiagramm dargestellt.
  • An den Endknoten stehen alle möglichen Kombinationen von Ergebnissen. Jedes Ergebnis hat dabei so viele Plätze wie es Züge gibt. an erster Stelle steht dabei das Ergebnis des ersten Zugs, an zweiter Stelle das des zweiten usw.

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an, um insbesondere die Frage der möglichen Kombinationen deutlicher zu machen. Wir haben zwei Urnen, aus denen wir nacheinander je eine Kugel ziehen. Die erste Urne ist so ausgestattet wie die Urne im ersten Beispiel: 5 weiße, 3 schwarze und 2 blaue Kugeln. Die zweite Urne enthält 6 rote und 4 grüne Kugeln. Der erste Zug erfolgt aus der Urne mit den drei Farben, also gehen vom Anfangsknoten drei Äste mit den Wahrscheinlichkeiten Schwarz 0,5, Weiß 0,3 und Blau 0,2 aus. von den drei Knoten am Ende der Äste gehen jeweils zwei Äste für den zweiten Zug ab, da es nur zwei Möglichkeiten gibt: rot oder grün. An den Ästen stehen dabei die Wahrscheinlichkeiten rot 0,6 und grün 0,4. Die sechs möglichen Ergebnisse sind

  • (Schwarz/Rot)
  • (Schwarz/Grün)
  • (Weiß/Rot)
  • (Weiß/Grün)
  • (Blau/Rot)
  • (Blau/Grün)

 

Abbildung 3: Zweistufiges Wahrscheinlichkeitsexperiment
Abbildung 3: Zweistufiges Wahrscheinlichkeitsexperiment

 

Abbildung 3 zeigt den Wahrscheinlichkeitsbaum mit den zugehörigen Ergebnissen.

In diesem Experiment kann es besipielsweise das Ergebnis (Grün/Schwarz) nicht geben, weil in dem Ergebnis immer die Kugel aus der ersten Urne vorne steht und in der ersten Urne gibt es keine grünen Kugeln.

Experimente ohne Zurücklegen

Kehren wir zurück zu unserem Ausgangsbeispiel mit 5 weißen, 3 schwarzen uns 2 blauen Kugeln in einer Urne zurück. Wieder wird zweimal nacheinander gezogen. Dieses Mal wird die gezogene Kugel jedoch nicht zurück in die Urne gelegt. Beim Ausgangsbeispiel spricht vom „Ziehen mit Zurücklegen“, nun ist es „Ziehen ohne Zurücklegen“. Was ändert sich? Die Struktur des Baumes bleibt gleich; das was sich ändert, sind die Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe des Spiels.

Die Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe des Baums hängen davon ab, in welchem der Knoten wir uns befinden. Gehen wir systematisch von links nach rechts vor. In dem linken Knoten ist bisher eine weiße Kugel gezogen worden, es sind daher noch 4 weiße, 3 schwarze und 2 blaue Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeiten sind

    \[\begin{aligned} &&&P(\mbox{weiss})&=&&\frac{4}{9}\\ &&&P(\mbox{schwarz})&=&&\frac{3}{9}\\ &&&P(\mbox{blau})&=&&\frac{2}{9}\\ \end{aligned}\]

Im mittleren Knoten ist eine schwarze Kugel gezogen worden; in der Urne befinden sich somit 5 weiße, 2 schwarze und 2 blaue, die Wahrscheinlichkeiten sind

    \[\begin{aligned} &&&P(\mbox{weiss})&=&&\frac{5}{9}\\ &&&P(\mbox{schwarz})&=&&\frac{2}{9}\\ &&&P(\mbox{blau})&=&&\frac{2}{9}\\ \end{aligned}\]

Schließlich ist im rechten Knoten eine blaue Kugel gezogen worden. In der Urne befinden sich damit noch 5 weiße, 3 schwarze und eine blaue Kugel. Die Wahrscheinlichkeiten sind

    \[\begin{aligned} &&&P(\mbox{weiss})&=&&\frac{5}{9}\\ &&&P(\mbox{schwarz})&=&&\frac{3}{9}\\ &&&P(\mbox{blau})&=&&\frac{1}{9}\\ \end{aligned}\]

Wie wir sehen können, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten hinter jedem Knoten zu 1.

Abbildung 4: Wahrscheinlichkeitsexperiment ohne Zurücklegen der Kugeln
Abbildung 4: Wahrscheinlichkeitsexperiment ohne Zurücklegen der Kugeln

Abbildung 4 zeigt den zugehörigen Wahrscheinlichkeitsbaum.

Die Pfadregeln oder Pfad- und Summenregel

 

Die Pfadregel (manchmal auch die 1. Pfadregel genannt) wird benutzt, um die Wahrscheinlichkeiten von (mindestens) zweistufigen Wahrscheinlichkeitsexperimenten zu bestimmen. Schauen wir uns in dem Beispiel der Urne mit 5 weißen, 3 schwarzen und 2  blauen Kugeln an, wie wir die Wahrscheinlichkeiten für das Ereignis „zwei weiße Kugeln ohne Zurücklegen ziehen“ berechnen.

Im ersten Zug ist die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen \frac{1}{2}. Nur noch dieser Fall interessiert uns im weiteren. Die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug
ebenfalls eine weiße Kugle zu ziehen, ist \frac{4}{9}. Die Wahrscheinlichkeit, im ersten Zug eine weiße Kugel und dann im zweiten Zug wieder eine weiße Kugel zu ziehen ist somit \frac{1}{2}*\frac{4}{9}=\frac{2}{9}. Damit haben wir die (erste) Pfadregel angewendet: Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem mehrstufigen Wahrscheinlichkeitsexperiment zu berechnen, wir der Weg vom Anfangsknoten zum gewünschten Endknoten abgegangen und die Wahrscheinlichkeiten, die an den Ästen stehen, miteinander multipliziert.

Die Summenregel (oder 2. Pfadregel) wird angewendet, wenn mehr als ein Ereignis in der Ergebnismenge steht. Wollen wir beispielsweise wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist , eine schwarze und eine weiße Kugel zu ziehen, gibt es zwei Möglichkeiten: Erst Schwarz, dann Weiß oder erst Weiß, dann Schwarz. Nach der Pfadregel werden die Wahrscheinlichkeiten für diese Ergebnisse berechnet:

    \[\begin{aligned} &&&P(\mbox{weiss},\mbox{schwarz})&=&&\frac{5}{10}*\frac{3}{9}=\frac{1}{6}\\ &&&P(\mbox{schwarz},\mbox{weiss})&=&&\frac{3}{10}*\frac{5}{9}=\frac{1}{6}.\\ \end{aligned}\]

Anschließend werden alle Ergebnisse, auf die die Bedingung zutrifft, addiert. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze und eine weiße Kugel zu ziehen, \frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}.

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