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Baumdiagramme und Vierfeldertafeln

Eine Möglichkeit, ein zweistufiges Wahrscheinlichkeitsexperiment  zu verdeutlichen, ist die Verwendung eines Baumdiagramms. Man kann die Informationen, die sich in dem Wahrscheinlichkeitsbaum befinden, auch mit Hilfe einer  Vierfeldertafel darstellen.

Ein zweistufiges Wahrscheinlichkeitsexperiment beinhaltet zwei Informationen – je eines pro Stufe. Bei einer Vierfeldertafel kann jeder dieser Informationen einen von jeweils zwei Zuständen annehmen, man kommt also insgesamt auf vier Zustände – daher vier Felder.

Wenn wir die beiden Möglichkeiten mit A und B bezeichnen, dann sind die möglichen Ausgänge A und \overline{A} – Das überstrichene A bedeutet „nicht A“. Dies heißt, dass nicht der Zustand A verwirklicht wird, sondern sein Gegenteil. Nehmen wir an, dass A alle weißen Autos sind, dann enthält \overline{A} alle nicht-weißen Autos.

Eine Vierfeldertafel sieht dann wie folgt aus:

A \overline{A} gesamt
B A und B sind erfüllt B ist erfüllt, A nicht B insgesamt
\overline{B} B ist nicht erfüllt, A ist erfüllt A und B sind nicht erfüllt \overline{B} insgesamt
gesamt A insgesamt \overline{A} insgesamt Gesamtsumme bzw. 100%

Nehmen wir ein Beispiel, bei dem Schülerinnen A) und Schüler \overline{A}) entweder mit dem Bus B) oder zu Fuß \overline{B})  zu Schule kommen. Die zugehörige Vierfeldertafel sieht – in absoluten Häufigkeiten –  wie folgt aus:

Schülerinnen Schüler gesamt
Zu Fuß 200 220 420
Bus 350 230 580
gesamt 550 450 1000

oder in relativen Häufigkeiten

Schülerinnen Schüler gesamt
Zu Fuß 0,2 0,22 0,42
Bus 0,35 0,23 0,58
gesamt 0,55 0,45 1

Diese Vierfeldertafel lässt sich durch zwei Baumdiagramme darstellen. Einmal steht dabei die Entscheidung zwischen Schülerinnen und Schüler auf der ersten Stufe des Baumes (Abbildung 1), bei dem anderen Baum (Abbildung 2) ist es die Entscheidung zwischen Zu Fuß gehen und Bus fahren:

Baumdiagramm, Variante 1
Abbildung 1: Baumdiagramm, Variante 1
Abbildung 2: Baumdiagramm, Variante 2
Abbildung 2: Baumdiagramm, Variante 2

Die Wahrscheinlichkeiten, die in den Baumdiagrammen an den Ästen der ersten Ebene stehen, lass sich aus der letzten Zeile bzw. Spalte der Vierfeldertafel ablesen. Die vier Wahrscheinlichkeiten im Inneren der Vierfeldertafel sind die Ergebnisse an den Endknoten der Baumdiagramme. Dort findet sich beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen Schüler handelt, der mit dem Bus fährt. Eine Vierfeldertafel ist eine andere Möglichkeit, die Informationen, die in einem Baumdiagramm enthalten sind, darzustellen. Dabei enthält eine Vierfeldertafel einerseits mehr Informationen als eins der Baumdiagramme – wir sehen sowohl die Aufteilung zwischen Schülerinnen und Schülern als auch die zwischen Bus  fahren und zu Fuß gehen. Andererseits enthält die Vierfeldertafel weniger Informationen: Wir können die bedingten Wahrscheinlichkeiten nicht direkt ablesen.

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