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Asymptoten

Eine Asymptote ist eine Linie, der sich der Graph einer Funktion annähert ohne sie letztendlich zu erreichen. Oftmals stößt man bei Grenzwertbetrachtungen auf Asymptoten, wenn der Grenzwert nicht unendlich groß oder klein ist. Es gibt vier Arten von Asymptoten. Um diese Arten von Asymptoten zu erklären betrachten wir eine Funktion der Form

(1)   \begin{equation*}f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}.\end{equation*}

Senkrechte Asymptoten/Polstellen

Senkrechte Asymptoten entstehen durch Definitionslücken.

Abbildung 1: Hyperbel

Im Beispiel der Hyperbel \frac{1}{x} in Abbildung 1 gibt es eine senkrechte Asymptote bei x=0, weil dort eine Definitionslücke ist. Die Funktionswerte nähern sich unendlichen Werten an, wenn der x-Wert sich 0 annähert. Allgemein gibt es solche senkrechten Asymptoten an den Stellen, an denen h(x) in der Funktion (1) Nullstellen hat.

Man unterscheidet bei solchen senkrechten Polstellen zwischen solchen mit Vorzeichenwechseln – so wie hier im Beispiel – und solchen ohne Vorzeichenwechsel. Den Vorzeichenwechsel kann man dadurch bestimmen, dass man einen Wert einsetzt, der etwas kleiner als die Definitionslücke ist und einen, der etwas größer ist.

Horizontale/waagerechte Asymptoten

Horizontale oder waagerechte Asymptoten ergeben sich, wenn der Grad der Funktion g(x) in dem Beispiel (1) kleiner oder gleich dem Grad der Funktion h(x) ist. Sollte der Grad von g(x) kleiner sein, so ist die waagerechte Asymptote 0, sind die beiden Grade der Funktionen gleich, so ist die waagerechte Asymptote der Quotient aus den beiden Koeffizienten vor den Variablen mit dem höchsten Exponenten.

Sollte eine der Funktionen eine Exponentialfunktion sein, so ist dieser Grad immer höher als der Grad einer ganzrationalen Funktion.

Auch bei e-Funktionen sind waagerechte Asymptoten möglich – wenn der Exponent gegen -\infty strebt.

Schiefe Asymptoten

Schiefe Asymptoten ergeben sich, wenn der Grad der Funktion g(x) genau um 1 höher ist als der Grad der Funktion h(x). Die schiefe Asymptote wird durch eine Polynomdivision ermittelt; dabei wird der Rest, der bei der Division entsteht, ignoriert.

Asymptotische Kurven

Asymptotische Kurven ergeben sich, wenn der Grad der Funktion g(x) um mehr als 1 höher ist als der Grad der Funktion h(x). Die Asymptote wird auch hier durch eine Polynomdivision ermittelt, wobei der Rest der Division ignoriert wird.

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