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Arithmetische Folgen und Reihen

Eine arithmetische Folge ist dadurch gekennzeichnet, dass alle Elemente dieser Folge einen festen Abstand voneinander haben. Mit anderen Worten ist die Differenz zweier benachbarter Elemente einer arithmetischen Folge immer gleich groß. Es gilt

    \[a_{n+1}=a_n+d\ \text{ bzw. }\ a_{n+1}-a_n=d.\]

Allgemein ergibt sich als Bildungsregel für arithmetische Folgen für das n-te Element:

    \[a_n=a_1+(n-1)*d,\]

weil zum ersten Element (n-1)-mal die Differenz d addiert wird:

    \begin{eqnarray*}a_1&=&a_1\\a_2&=&a_1+d\\a_3&=&a_2+d=a_1+2d\\a_4&=&a3+d=a_1+3d\\ \ldots \\a_n&=&a_{n-1}+d=a_1+(n-1)d.\end{eqnarray*}

Arithmetische Folgen haben keinen Grenzwert und keine Schranke.

Die arithmetische Reihe – also die Summer aller Elemente der Folge – berechnet man mit

    \[s_n=\frac{n}{2}\left( a_1+a_n \right).\]

Unter Berücksichtigung der Definition von a_n kann man die Summe auch als

    \begin{eqnarray*}s_n&=&\frac{n}{2}\left( a_1+a_1+(n-1)d\right)\\ &=&\frac{n}{2}\left( 2a_1 +(n-1)d\right)\\ &=& na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\end{eqnarray*}

schreiben.

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