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Ableitung von Funktionen

Mit Hilfe der Differentialquotienten werden Steigungen von Funktionen in einzelnen Punkten berechnet. Erweitern wir dieses Konzept nun auf beliebige Stellen einer Funktion, so erhalten wir eine Ableitungsfunktion f'⁡(x). Sehen wir uns dies am Beispiel f⁡(x)=x^2 an. Der entsprechende Differentialquotient hat die Form:

    \begin{eqnarray*}f'⁡(x)&=&\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f⁡(x)}{h}\\ &=&\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\ &=&\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\\ &=&\lim_{h\to 0}\frac{h(2x+h)}{h}\\ &=&\lim_{h\to 0}(2x+h)\\ &=&2x.\end{eqnarray*}

Die Ableitungsfunktion f'⁡(x)=2x gibt an, welche Steigung die Funktion f⁡(x)=x^2 an der Stelle x hat. Eine Funktion, die an jeder Stelle x einer Menge \mathbb{M}x\in \mathbb{M}) differenzierbar ist, wird “differenzierbar über eine Menge \mathbb{M} genannt. Beispiele für Funktionen mit nicht–differenzierbaren Stellen sind die Quadratwurzelfunktion an der Stelle 0, die Betragsfunktion an der Stelle, an der der Wert der Funktion 0 wird oder Funktionen mit Sprungstellen an eben diesen Sprungstellen.

Ableitungen höherer Ordnung – wie die 2. oder 3. Ableitung – erhält man durch mehrfaches Ableiten. Wird die 1. Ableitung abgeleitet, so erhält man die 2. Ableitung. Wird diese wiederum abgeleitet, so erhält man die 3. Ableitung.

Ableitungen spezieller Funktionen

 Im Folgenden werden die Ableitungen diverser Funktionstypen betrachtet.

Konstante Funktion

Die Ableitung der konstanten Funktion f⁡(x)=a ist 0.

Lineare Funktion

Eine Funktion der Form f⁡(x)=mx+b hat die Steigung m.

Potenzfunktion

Eine Funktion f⁡(x)=ax^n hat die Ableitung f'⁡(x)=nax^{n-1}. Der Koeffizient wird also mit dem Exponenten multipliziert und der Exponent wird anschließend um 1 vermindert.

Ganzrationale Funktion

Eine ganzrationale Funktion besteht aus der Summierung von einzelnen Potenzfunktionen. Diese werden einzeln abgeleitet und anschließend wieder addiert. Die Ableitung von f⁡(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0 ist f'⁡(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+…+a_1.

Potenzfunktion mit negativem Exponent

Die Ableitung von f⁡(x)=\frac{a}{x^n}=ax^{-n},\ n>1, erfolgt nach der Regel für Potenzfunktionen. Der Koeffizient wird mit dem Exponenten multipliziert und der Exponent wird um 1 vermindert: f'⁡(x)=-nax^{-n-1}=-\frac{na}{x^{n+1}}.

Wurzelfunktion

Die Ableitung von f⁡(x)=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}} erfolgt nach der Grundregel für Potenzfunktionen: f'⁡(x)=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n-1}}=\frac{1}{n}x^{\frac{1-n}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{x^{n-1}}}.

Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion f⁡(x)=ab^x hat die Form f'⁡(x)=a\ln⁡(b)b^x. Dabei bezeichnet \ln den Logarithmus zur natürlichen Zahl e. Als Spezialfall ergibt sich, dass die Ableitung von f⁡(x)=e^x gleich sich selbst ist, also f'⁡(x)=e^x.

Logarithmusfunktion

 Die Ableitung der Logarithmusfunktion zur Basis bf⁡(x)=\log_b(x) ist f'⁡(x)=\frac{1}{\ln⁡(b)x}. Ein Speziafall ist die Ableitung der Logarithmusfunktion zur Basis e. Dort ist die Ableitung f'⁡(x)=\frac{1}{x}.

Sinusfunktion

Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion.

Kosinusfunktion

Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion: f'(x)=-\sin⁡(x).

Spezielle Regeln

 

Bisher sind die Ableitungen einfacher Funktionen betrachtet worden.Für verknüpfte Funktionen gibt es Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel.

 

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