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Das Pascalsche Dreieck

Das Pascalsche Dreieck findet bei zwei Gelegenheiten Anwendung:

  • bei der Berechnung von Binomen
  • zur Ermittlung der Binomialkoeffizienten.

Binome sind Terme der Form (a+b)^n. Die bekanntesten Binome sind die binomische Formeln. Die Binomialkoeffizienten werden im Bereich Stochastik als \binom{n}{k} verwendet.

Das Ausmultiplizieren eines Binoms ergibt für n \in \mathbb{N} allgemein:

    \[(a+b)^n=c^na^n+c_1a^{n-1}b+c_2a^{n-2}b^2+⋯+c_{n-1}ab^{n-1}+c_nb^n.\]

Das Pascalsche Dreieck bestimmt dabei die Koeffizienten c_0 bis c_n. Diese Werte entsprechen gleichzeitig den Binomialkoeffizienten \binom{n}{0} bis \binom{n}{n}. Die Werte für die Koeffizienten erhält man aus der folgenden Tabelle:

 

n
                                 
0
               
1
               
1
             
1
 
1
             
2
           
1
 
2
 
1
           
3
         
1
 
3
 
3
 
1
         
4
       
1
 
4
 
6
 
4
 
1
       
5
     
1
 
5
 
10
 
10
 
5
 
1
     
6
   
1
 
6
 
15
 
20
 
15
 
6
 
1
   
7
 
1
 
7
 
21
 
35
 
35
 
21
 
7
 
1
 

Die Tabelle zeigt auf der linken Seite die Werte von n. Eine Zeile wird jeweils aus der darüber stehenden gewonnen. Dabei wird eine neue Zeile immer mit einer 1 begonnen und beendet. Die Werte dazwischen werden dadurch gewonnen, dass man die beiden Werte, die schräg darüber stehen, addiert. In der Zeile n=8 hätte der vierte Koeffizient von links den Wert 56 (=21+35). Dies entspricht dem Binomialkoeffizenten \binom{8}{3}.

Die Zeile n=2 steht für die binomische Formel: (a+b)^2=1a^2+2ab+1b^2 – also mit der Zahlenfolge 1 – 2 – 1.

(a-b)^n wird übrigens bis auf die Vorzeichen nach dem selben Schema berechnet. Allerdings ist der erste Koeffizient positiv und danach sind die Koeffizienten abwechselnd positiv und negativ.

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